Modelo de opción de difusión de salto: valoración de movimientos discontinuos

Comprenda cómo la difusión de saltos de Merton agrega brechas aleatorias a los rendimientos continuos, cómo la intensidad y el tamaño de los saltos afectan las opciones de cola y por qué el riesgo de salto no se puede cubrir continuamente con Delta.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Un modelo de difusión de salto complementa la difusión continua de precios con movimientos discontinuos programados aleatoriamente. En el modelo de Merton, un proceso de Poisson determina las llegadas de los saltos y una distribución separada determina los tamaños de los saltos. Esto da a las opciones de corto plazo y muy alejadas del dinero más probabilidad de cola que la que puede producir un movimiento browniano geométrico de volatilidad constante. Puede representar brechas de ingresos, noticias de adquisiciones, impagos, sorpresas políticas o crisis de manera más realista, pero sigue siendo un modelo. El momento y la magnitud del salto no se conocen de antemano, por lo que la negociación continua de acciones no puede replicar ni cubrir perfectamente la opción.

Mecánica del modelo y significado de precios.

Una especificación común es dS_t/S_{t-}=(μ-λκ)dt+σdW_t+(J-1)dN_t. Aquí σ es la volatilidad de difusión, N_t es un proceso de Poisson con intensidad anual λ, J es el salto multiplicativo y κ=E[J-1]. El compensador -λκ evita que el componente de salto cambie silenciosamente la deriva esperada prevista. En la fijación de precios neutrales al riesgo, la distribución de deriva y salto debe ajustarse o calibrarse de manera consistente con los precios negociados.

Condicional a los saltos n, el retorno del registro del terminal suele ser normal bajo una suposición de salto lognormal. Una opción europea puede entonces valorarse como una mezcla ponderada de Poisson de precios condicionales tipo Black-Scholes. Una mayor intensidad de los saltos, una mayor dispersión de los saltos o más saltos a la baja negativos generalmente aumentan los valores de las opciones de cola y los cambios se sesgan, pero los parámetros pueden compensar la volatilidad de la difusión y no se identifican de manera única mediante una pequeña muestra de opciones.

Un cálculo de salto de 30 días

Tome λ=4 saltos por año y T=30/365 año. Los saltos esperados son λT=0.329 y la probabilidad de Poisson de al menos un salto es 1-e^(-λT)=28.0%. Ésta es la probabilidad del modelo según la medida seleccionada, no una afirmación de que cada año se produzcan cuatro accidentes visibles.

Sea la volatilidad de difusión σ=20%, el salto logarítmico medio m=-5% y la desviación estándar del tamaño del salto δ=10%. Una aproximación simple de la varianza del rendimiento logarítmico anual es:

Si el tamaño del salto logarítmico es Y~N(m,δ²), un proxy sencillo de la varianza anual del log-rendimiento es:

σ²+λ(δ²+m²)=0.20²+4(0.10²+0.05²)=0.09,

cuya raíz cuadrada es 30%. El compensador de salto es κ=e^(m+δ²/2)-1=e^(-0.045)-1≈-4.40%. Estos cálculos explican la escala de parámetros; 30% no es automáticamente la volatilidad implícita de una opción, y el precio total requiere un descuento consistente con la medida y una integración de pagos.

Lista de verificación de riesgos y calibración

Indique si los parámetros son históricos o neutrales al riesgo. La frecuencia de los saltos físicos no se puede incluir en una fórmula de fijación de precios sin un supuesto de prima de riesgo.
Calibre entre precios de ejercicio y vencimientos utilizando cotizaciones ejecutables sincronizadas, forwards, tasas, dividendos y términos contractuales.
Identificabilidad de los parámetros de prueba: la volatilidad de la difusión, la intensidad del salto, el salto medio y la dispersión del salto pueden producir sonrisas similares.
Inspeccionar el ajuste fuera del conjunto de calibración y entre fechas; un ajuste excelente dentro de la muestra puede resultar inestable fuera de la muestra.
Preservar límites sin arbitraje y comprobar la convergencia numérica de los métodos de truncamiento, integración, simulación o transformación de Poisson.
Destaca los saltos agrupados y la intensidad dependiente del estado. Un proceso de Poisson independiente y constante no puede capturar cada crisis o calendario de ganancias.
Separar la dispersión simétrica del salto de la asimetría negativa del salto; afectan las opciones de venta, compra y sesgo de manera diferente.
La cobertura delta no puede negociarse durante un salto instantáneo. Informar sobre la brecha de pérdidas y ganancias y el salto residual de los griegos en lugar de reclamar una cobertura completa.
Incluya oferta/demanda, pérdida de liquidez, margen, préstamo, ejercicio anticipado, dividendos y liquidación al comparar el valor del modelo con una operación.
Utilice Black-Scholes más simples y límites intrínsecos/sin arbitraje observados como diagnóstico antes de confiar en un modelo más flexible.

Errores comunes

“La difusión del salto predice la siguiente brecha”. Especifica una distribución, no el momento o la dirección de un evento en particular.
“Añadir saltos siempre mejora los pronósticos”. Los parámetros adicionales pueden sobreajustar el ruido de las opciones y los regímenes inestables.
“Lambda es el número de accidentes por año”. Cuenta los saltos modelados según una medida establecida y una convención de umbral.
“El proxy de variación del 30% es la opción IV”. La sonrisa, la madurez, la prima de riesgo y la integración de los beneficios permanecen.
“Más saltos sólo aumentan los precios de venta”. Los saltos positivos y negativos pueden levantar ambas colas; la asimetría determina el sesgo.
“La cobertura delta elimina el riesgo de salto”. Se produce un movimiento discontinuo antes de que una cobertura continua pueda reequilibrarse.
“El salto histórico estima parámetros de precios iguales”. Los precios neutrales al riesgo incorporan compensación por el riesgo de salto.
“La difusión del salto de Merton explica cada sonrisa”. La volatilidad estocástica, la volatilidad local, la liquidez y los múltiples procesos de salto también pueden ser importantes.