Model Opsi Difusi Lompat: Penetapan Harga Pergerakan Terputus

Pahami bagaimana difusi lompatan Merton menambah kesenjangan acak pada pengembalian berkelanjutan, bagaimana intensitas dan ukuran lompatan memengaruhi pilihan ekor, dan mengapa risiko lompatan tidak dapat terus-menerus dilindung nilai oleh Delta.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Model difusi lompatan melengkapi difusi harga berkelanjutan dengan pergerakan terputus-putus yang diatur waktunya secara acak. Dalam model Merton, proses Poisson menentukan kedatangan lompatan dan distribusi terpisah menentukan ukuran lompatan. Hal ini memberikan kemungkinan ekor yang lebih besar pada pilihan-pilihan jangka pendek dan jangka panjang daripada yang dapat dihasilkan oleh gerakan Brownian geometris dengan volatilitas konstan. Hal ini dapat mewakili kesenjangan pendapatan, berita pengambilalihan, gagal bayar, kejutan kebijakan, atau krisis dengan lebih realistis, namun hal ini tetap menjadi sebuah model. Waktu dan besarnya lompatan tidak diketahui sebelumnya, sehingga perdagangan saham yang berkelanjutan tidak dapat dengan sempurna meniru dan melakukan lindung nilai terhadap opsi tersebut.

Mekanika model dan arti harga

Spesifikasi umum adalah dS_t/S_{t-}=(μ-λκ)dt+σdW_t+(J-1)dN_t. Di sini σ adalah volatilitas difusi, N_t adalah proses Poisson dengan intensitas tahunan λ, J adalah lompatan perkalian, dan κ=E[J-1]. Kompensator -λκ mencegah komponen lompat mengubah secara diam-diam penyimpangan yang diharapkan. Dalam penetapan harga netral risiko, distribusi penyimpangan dan lompatan harus disesuaikan atau dikalibrasi secara konsisten dengan harga yang diperdagangkan.

Bersyarat pada lompatan n, pengembalian log terminal sering kali normal berdasarkan asumsi lompatan lognormal. Opsi Eropa kemudian dapat dinilai sebagai campuran harga bersyarat seperti Black-Scholes yang ditimbang Poisson. Intensitas lompatan yang lebih tinggi, dispersi lompatan yang lebih besar, atau lompatan ke bawah yang lebih negatif umumnya meningkatkan nilai opsi ekor dan mengubah kemiringan, namun parameter dapat saling mengimbangi terhadap volatilitas difusi dan tidak diidentifikasi secara unik oleh sampel opsi yang kecil.

Perhitungan lompatan 30 hari

Ambil λ=4 lompatan per tahun dan T=30/365 tahun. Lompatan yang diharapkan adalah λT=0.329 dan probabilitas Poisson untuk setidaknya satu lompatan adalah 1-e^(-λT)=28.0%. Ini adalah probabilitas model berdasarkan ukuran yang dipilih—bukan pernyataan bahwa empat kecelakaan nyata terjadi setiap tahunnya.

Misalkan volatilitas difusi menjadi σ=20%, lompatan log rata-rata m=-5%, dan deviasi standar ukuran lompatan δ=10%. Proksi varians pengembalian log tahunan yang sederhana adalah:

Jika ukuran lompatan logaritmik adalah Y~N(m,δ²), proksi sederhana varians log-return tahunan adalah:

σ²+λ(δ²+m²)=0.20²+4(0.10²+0.05²)=0.09,

yang akar kuadratnya adalah 30%. Kompensator lompatannya adalah κ=e^(m+δ²/2)-1=e^(-0.045)-1≈-4.40%. Perhitungan ini menjelaskan skala parameter; 30% tidak secara otomatis merupakan volatilitas opsi yang tersirat, dan harga penuh memerlukan diskonto yang konsisten dan integrasi pembayaran.

Daftar periksa kalibrasi dan risiko

Nyatakan apakah parameter bersifat historis atau netral terhadap risiko. Frekuensi lompatan fisik tidak dapat dimasukkan ke dalam formula penetapan harga tanpa asumsi risiko-premium.
Kalibrasi seluruh harga pelaksanaan dan kadaluwarsa menggunakan kutipan, penerusan, tarif, dividen, dan persyaratan kontrak yang dapat dieksekusi dan disinkronkan.
Uji identifikasi parameter: volatilitas difusi, intensitas lompatan, lompatan rata-rata, dan dispersi lompatan dapat menghasilkan senyuman serupa.
Periksa kecocokan di luar set kalibrasi dan di seluruh tanggal; kecocokan dalam sampel yang sangat baik bisa jadi tidak stabil di luar sampel.
Pertahankan batasan tanpa arbitrase dan periksa konvergensi numerik metode pemotongan, integrasi, simulasi, atau transformasi Poisson.
Lompatan stres berkerumun dan intensitas bergantung pada keadaan. Proses Poisson independen yang konstan tidak dapat mencakup setiap krisis atau kalender pendapatan.
Pisahkan dispersi lompatan simetris dari asimetri lompatan negatif; mereka mempengaruhi penempatan, call, dan kemiringan secara berbeda.
Lindung nilai Delta tidak dapat diperdagangkan selama lompatan seketika. Laporkan kesenjangan P&L dan lompatan sisa Yunani daripada mengklaim lindung nilai sepenuhnya.
Sertakan Bid/Ask, kerugian likuiditas, margin, peminjaman, eksekusi awal opsi oleh pemegang opsi, dividen, dan penyelesaian ketika membandingkan nilai model dengan perdagangan.
Gunakan Black-Scholes yang lebih sederhana dan observasi batasan intrinsik/tanpa arbitrase sebagai diagnostik sebelum mempercayai model yang lebih fleksibel.

Kesalahpahaman umum

“Difusi lompat memprediksi kesenjangan berikutnya.” Ini menentukan distribusi, bukan waktu atau arah peristiwa tertentu.
“Menambahkan lompatan selalu meningkatkan perkiraan.” Parameter tambahan dapat menggantikan noise opsi dan rezim yang tidak stabil.
“Lambda adalah jumlah kecelakaan per tahun.” Ini menghitung lompatan yang dimodelkan berdasarkan ukuran dan konvensi ambang batas yang dinyatakan.
“Proksi varians 30% adalah opsi IV.” Senyuman, kedewasaan, premi risiko, dan integrasi hasil tetap ada.
“Lebih banyak lompatan hanya menaikkan harga put.” Lompatan positif dan negatif dapat menaikkan kedua ekor; asimetri menentukan kemiringan.
“Lindung nilai delta menghilangkan risiko lompatan.” Pergerakan terputus-putus terjadi sebelum lindung nilai yang berkelanjutan dapat menyeimbangkan kembali.
“Lompatan historis memperkirakan parameter harga yang sama.” Harga netral risiko mencakup kompensasi untuk menanggung risiko lompatan.
“Difusi lompatan Merton menjelaskan setiap senyuman.” Volatilitas stokastik, volatilitas lokal, likuiditas, dan proses lompatan berganda juga mungkin penting.