Модель опциона скачок-диффузия: ценообразование прерывистых движений

Поймите, как диффузия прыжков Мертона добавляет случайные промежутки к непрерывной доходности, как интенсивность и размер прыжка влияют на варианты хвоста и почему риск прыжка нельзя постоянно хеджировать с помощью Дельты.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Модель скачкообразной диффузии дополняет непрерывное ценовое распространение случайными прерывистыми движениями. В модели Мертона процесс Пуассона определяет появление прыжков, а отдельное распределение определяет размеры прыжков. Это дает краткосрочным и далеким от денег опционам большую вероятность хвоста, чем может дать геометрическое броуновское движение с постоянной волатильностью. Он может более реалистично отражать разницу в доходах, новости о поглощениях, дефолты, политические сюрпризы или кризисы, но он остается моделью. Время и величина скачка заранее не известны, поэтому непрерывная торговля акциями не может идеально воспроизвести и хеджировать опцион.

Механика модели и значение ценообразования

Общая спецификация — dS_t/S_{t-}=(μ-λκ)dt+σdW_t+(J-1)dN_t. Здесь σ — диффузионная волатильность, N_t — пуассоновский процесс с годовой интенсивностью λ, J — мультипликативный скачок, κ=E[J-1]. Компенсатор -λκ предотвращает бесшумное изменение ожидаемого отклонения компонентом скачка. При ценообразовании, нейтральном к риску, распределение дрейфа и скачка должно корректироваться или калиброваться в соответствии с торгуемыми ценами.

При условии перехода на n возврат журнала терминала часто является нормальным в предположении логнормального перехода. Тогда европейский опцион можно оценить как взвешенную по Пуассону смесь условных цен типа Блэка-Шоулза. Большая интенсивность скачков, большая дисперсия скачков или более отрицательные скачки вниз обычно повышают значения хвостовых опционов и меняют асимметрию, но параметры могут идти на компромисс с диффузной волатильностью и не однозначно идентифицируются небольшой выборкой опционов.

Расчет 30-дневного скачка

Возьмите λ=4 прыжков в год и T=30/365 года. Ожидаемые прыжки составляют λT=0.329, а вероятность Пуассона хотя бы одного прыжка равна 1-e^(-λT)=28.0%. Это вероятность модели в соответствии с выбранной мерой, а не утверждение о том, что каждый год происходят четыре видимых катастрофы.

Пусть диффузионная волатильность равна σ=20%, средний логарифмический скачок m=-5% и стандартное отклонение размера скачка δ=10%. Простой показатель отклонения годовой логарифмической доходности:

Если логарифмический размер скачка имеет вид Y~N(m,δ²), простой прокси годовой дисперсии лог-доходности равен:

σ²+λ(δ²+m²)=0.20²+4(0.10²+0.05²)=0.09,

квадратный корень которого равен 30%. Компенсатор скачка — κ=e^(m+δ²/2)-1=e^(-0.045)-1≈-4.40%. Эти расчеты объясняют масштаб параметров; 30% не является автоматически подразумеваемой волатильностью опциона, а полная цена требует последовательного дисконтирования и интеграции выплат.

Контрольный список калибровки и рисков

Укажите, являются ли параметры историческими или нейтральными с точки зрения риска. Частота физических скачков не может быть включена в формулу ценообразования без предположения о риск-опциональной премии.
Калибровка по страйкам и срокам действия с использованием синхронизированных исполняемых котировок, форвардов, ставок, дивидендов и условий контрактов.
Идентификация параметров теста: волатильность диффузии, интенсивность скачка, средний скачок и дисперсия скачка могут вызывать подобные улыбки.
Проверьте соответствие за пределами калибровочного набора и по датам; отличное соответствие внутри выборки может быть нестабильным вне выборки.
Сохранять безарбитражные границы и проверять численную сходимость методов усечения Пуассона, интегрирования, моделирования или преобразования.
Стрессовые кластерные скачки и интенсивность, зависящая от состояния. Постоянный независимый процесс Пуассона не может охватить каждый кризис или календарь доходов.
Отделить симметричную дисперсию прыжка от отрицательной асимметрии прыжка; они по-разному влияют на пут-опцион (put option — право продать базовый актив)ы, коллы и искажают их.
Дельта-хеджирование не может торговать во время мгновенного скачка. Греки сообщают о разрыве прибылей и убытков и остаточном скачке вместо того, чтобы заявлять о полном хеджировании.
Включите Bid/Ask, потерю ликвидности, маржу, заимствование, досрочное исполнение опциона его держателя (исполнение), дивиденды и расчет при сравнении стоимости модели со сделкой.
Используйте более простую модель Блэка-Шоулза и наблюдаемые внутренние/безарбитражные границы в качестве диагностики, прежде чем доверять более гибкой модели.

Распространённые заблуждения

«Скачковая диффузия предсказывает следующий разрыв». Он определяет распространение, а не время или направление конкретного события.
«Добавление прыжков всегда улучшает прогнозы». Дополнительные параметры могут перекрывать параметры шума и нестабильных режимов.
«Лямбда — это количество аварий в год». Он учитывает смоделированные прыжки в соответствии с установленной мерой и соглашением о пороговых значениях.
«Отклонение в 30% — это вариант IV». Улыбка, зрелость, опционная премия за риск и интеграция выплат остаются.
«Большие скачки только поднимут цены пут». Положительные и отрицательные прыжки могут поднять оба хвоста; асимметрия определяет перекос.
«Дельта-хеджирование устраняет риск скачка». Прерывистое движение происходит до того, как непрерывный хедж сможет восстановить баланс.
«Исторический скачок оценок равен ценовым параметрам». Нейтральные к риску цены включают компенсацию риска скачка подшипника.
«Диффузия прыжка Мертона объясняет каждую улыбку». Также могут иметь значение стохастическая волатильность, локальная волатильность, ликвидность и множественные скачкообразные процессы.