Modelo de Heston: varianza neutral al riesgo, motores numericos y calibracion

Audite Heston mediante parametros neutrales al riesgo, limites de varianza, shocks correlacionados, convenciones de la funcion caracteristica, calibracion ponderada por cotizaciones y validacion numerica.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversion. Invertir puede ocasionar perdidas.

Respuesta directa

Bajo una medida neutral al riesgo habitual Q, el modelo de Heston especifica dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) y dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q), con d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt. Los cinco parametros de valoracion son v_0, theta, kappa, xi y rho.

Son parametros de calibracion neutrales al riesgo salvo que se declare un mapeo fisico-neutral mediante la prima de riesgo de varianza. Pueden generar varianza estocastica, skew bajista y efectos temporales, pero un conjunto ajustado no es una verdad unica del mercado, una prevision de volatilidad ni prueba de calidad de cobertura.

Construya, calibre y valide en siete pasos

Fije el derecho contractual, reglas de ejercicio y liquidacion, moneda, marca temporal, forward, curva de descuento, dividendos, prestamo y si usa medida fisica P o de valoracion Q.
Declare la EDE y unidades: v_0 y theta son varianzas anualizadas, kappa tiene unidades 1/year, xi tiene 1/sqrt(year) y rho es adimensional en [-1, 1]. Documente cualquier mapeo P a Q de prima de riesgo de varianza.
Exija signos y correlacion admisibles y evalue 2 kappa theta >= xi^2. El proceso exacto de raiz cuadrada es no negativo; la condicion suficiente de Feller trata de si cero es inalcanzable o hay positividad estricta, y su incumplimiento no vuelve negativa la varianza exacta ni invalida todo precio.
Fije la convencion de funcion caracteristica, por ejemplo phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)], junto con coordenadas log-price o log-forward, signo de Fourier, amortiguacion, descuento, ramas de raiz y logaritmo complejos, limite de integracion, malla y tolerancia.
Limpie bid, ask, tamano, forward, descuento, dividendos y operaciones societarias sincronizados y ejecutables. Elimine con reglas documentadas datos obsoletos, cruzados, sin tamano o con arbitraje estatico; defina si el objetivo pondera precio, IV, Vega, spread u otra medida.
Calibre desde multiples inicios e informe limites, penalizaciones Feller, conjuntos casi optimos alternativos, residuos normalizados por spread, gradientes o condicionamiento del Jacobiano e inestabilidad de parametros, no solo un RMSE.
Valide paridad put-call, limite de volatilidad determinista, convergencia de cuadratura y FFT, comprobaciones por diferencias finitas o Monte Carlo, sesgo del esquema, precios fuera de muestra y P/L de cobertura; someta a tension saltos, eventos, liquidez, recalibracion y liquidacion.

Cuatro ejemplos desarrollados

Momentos y diagnostico Feller. Sean v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70 y t = 0.5. Entonces E^Q[v_t] = 0.0583939721, sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473, la semivida es 0.3465735903 year = 4.1588830834 months y 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09. Se cumple la condicion suficiente, pero sqrt(E[v_t]) no es E[sqrt(v_t)] ni una IV de opcion.
Construccion de shocks correlacionados. Con rho = -0.70, Z_S = -1.2 y el independiente Z_perp = 0.5, use Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214. Para S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30 y Delta t = 1/252, un diagnostico Euler simple da S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047 y sqrt(v_next) = 0.2110083048. Comprueba signo y unidades; Euler simple no es la recomendacion de produccion.
Varianza integrada esperada. Con el primer conjunto y T = 1.5, E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years. La varianza media esperada es 0.0558368822, cuya raiz es 0.2362982907. No es varianza realizada de una trayectoria ni IV cotizada directamente.
Los pesos cambian el diagnostico. Tres cotizaciones tienen bid/ask/modelo/Vega (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4) y (0.45, 0.55, 0.60, 1.5). Los residuos al midpoint son -0.02, +0.03 y +0.10; normalizados por semispread, -0.2, +0.6 y +2.0. La SSE de precios es 0.0113, la SSE por spread 4.40 y los residuos por Vega -0.0016667, +0.0075 y +0.0666667 decimales de volatilidad. El objetivo cambia que error considera grave el optimizador.

Riesgos de modelo, calibracion y numericos

Mezclar parametros fisicos y neutrales al riesgo u omitir la prima de riesgo de varianza.
Confundir varianza con volatilidad o aplicar mal la raiz cuadrada.
Mezclar unidades anualizadas de anos, dias, tipos, dividendos y volatilidad.
Usar forward, descuento o dividendos continuos o discretos incorrectos.
Permitir signos invalidos o rho fuera de [-1, 1].
Tratar fallo de Feller como varianza exacta negativa o invalidez automatica.
Usar Euler ingenuo que genera varianza negativa y pagos sesgados.
Ignorar sesgo y convergencia entre truncamiento, QE y esquemas exactos.
Mezclar convenciones de log-price, log-forward, signo Fourier o funcion caracteristica.
Elegir ramas complejas incoherentes y activar Little Heston Trap.
Usar corte, resolucion, damping FFT o tolerancia insuficientes.
Fallar limites deterministas, paridad, probabilidad y pruebas con motores independientes.
Calibrar cotizaciones obsoletas, asincronas, indicativas, cruzadas o sin tamano.
Introducir superficies con arbitraje estatico o distorsiones societarias.
Tratar errores al midpoint como ejecutables ignorando bid-ask y tamano.
Suponer equivalentes objetivos por precio, IV, Vega y spread.
Confiar en un inicio pese a minimos locales, direcciones planas e identificacion debil.
Sobreajustar una superficie sin validar precio y cobertura fuera de muestra.
Suponer que Heston continuo constante captura saltos, eventos, impago, toda sonrisa y dinamica futura.
Omitir liquidez, costes, margen, liquidacion, controles de recalibracion y gobierno.

Errores frecuentes

“Heston predice la volatilidad.” Especifica dinamica condicional tras elegir medida y parametros.
“Fallar Feller vuelve negativa la varianza e invalida precios.” Comportamiento exacto del limite y discretizacion son asuntos distintos.
“Forma cerrada significa sin numerica.” La valoracion aun requiere inversion de funcion caracteristica y controles numericos.
“El mejor ajuste identifica de forma unica dinamica y cobertura.” Distintos conjuntos y objetivos pueden ajustar parecido.
“Volatilidad estocastica captura crashes y toda sonrisa.” Heston estandar sigue siendo difusion continua de parametros constantes.