ジャンプ拡散オプションモデル：不連続変動の価格付け

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接的な答え

ジャンプ拡散モデルは連続的な価格拡散にランダム時点の不連続変動を加えます。Merton モデルはポアソン過程で到着、別の分布で幅を決め、一定ボラティリティ GBM より短期・遠い OTM オプションに厚い尾を与えます。決算ギャップ、買収、デフォルト、政策、危機をより現実的に表せますがモデルです。時刻と幅は事前に分からず、連続株式取引で完全複製・ヘッジできません。

モデル機構と価格の意味

一般形は dS_t/S_{t-}=(μ-λκ)dt+σdW_t+(J-1)dN_t。σ は拡散ボラ、N_t は年強度 λ のポアソン過程、J は価格乗数、κ=E[J-1]。-λκ はジャンプが意図した期待ドリフトを変えるのを防ぎます。リスク中立価格ではドリフトとジャンプ分布を市場価格と整合的に調整・較正します。

対数正規ジャンプでは n 回を条件に終端対数リターンが正規となり、欧式価格はポアソン加重した Black-Scholes 類似価格で表せます。強度、分散、負の平均幅は尾部価格とスキューを変えますが、拡散ボラと代替関係があり少数標本では一意に識別できません。

30日ジャンプの計算例

λ=4/年、T=30/365 年なら期待回数 λT=0.329、1回以上の確率は 1-e^(-λT)=28.0%。これは選択した測度のモデル確率で、毎年4回の目に見える暴落を意味しません。

拡散 σ=20%、平均対数幅 m=-5%、幅標準偏差 δ=10% なら簡略年次対数リターン分散は：

σ²+λ(δ²+m²)=0.20²+4(0.10²+0.05²)=0.09、

平方根 30%。補償は κ=e^(m+δ²/2)-1=e^(-0.045)-1≈-4.40%。これは尺度説明であり 30% がオプション IV になるわけではなく、完全価格には測度整合的な割引と積分が必要です。

較正とリスク確認

パラメータが実測かリスク中立かを明記し、リスクプレミアムなしに実測頻度を価格式へ入れません。
同期した約定可能気配、フォワード、金利、配当、契約で行使価格・満期をまたいで較正します。
拡散ボラ、強度、平均幅、幅分散の識別可能性を検証します。
較正外と日付をまたぐ適合を確認し、標本内だけを信用しません。
無裁定境界とポアソン打切り、積分、シミュレーション、変換の収束を確認します。
クラスターと状態依存強度を検証します。一定独立ポアソンは全危機を表せません。
対称な幅分散と負の非対称を区別します。
Delta ヘッジは瞬時ジャンプ中に取引できず、ギャップ P&L を報告します。
Bid/Ask、流動性、証拠金、借株、早期行使、配当、決済を含めます。
複雑モデル前に Black-Scholes、内在価値、無裁定境界で診断します。

よくある誤解

「次のギャップを予測する。」分布であり特定時刻・方向の予測ではありません。
「ジャンプ追加で予測は必ず改善する。」追加パラメータがノイズを過適合し得ます。
「Lambda は年暴落回数だ。」測度と閾値に基づくモデル到着数です。
「30% 分散近似が IV だ。」スマイル、満期、プレミアム、積分が残ります。
「ジャンプは Put だけを高くする。」正負の尾を高くし非対称がスキューを決めます。
「Delta ヘッジで消える。」不連続変動は再調整前に起きます。
「実測推定が価格パラメータだ。」リスク中立価格はリスク補償を含みます。
「Merton で全スマイルを説明できる。」確率ボラ、局所ボラ、流動性等もあります。