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Arbitrage calendaire : variance totale, moneyness forward et exécution

Testez la cohérence des échéances d’une surface d’options européennes avec variance totale, moneyness forward comparable, cotations exécutables, contrôles contractuels et limites de l’opération résiduelle.

Mis à jour

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

L’arbitrage calendaire de surface désigne un défaut de cohérence entre échéances dans une surface normalisée de prix d’options. Il ne se confond pas avec une opération discrétionnaire de spread calendaire. Pour une même famille de droits européens, un carry déterministe, une seule convention Black de volatilité implicite et une moneyness logarithmique forward comparable, on définit le facteur d’actualisation D(T), le forward F(T), k = ln(K/F(T)) et la variance totale w(k,T) = σ_BS(k,T)²T. Le prix normalisé du call est c(k,T) = C(K,T)/[D(T)F(T)].

Dans ce cadre, une surface lisse n’est exempte d’arbitrage calendaire que si ∂w(k,T)/∂T ≥ 0 à k constant ; sur deux coupes d’échéance ajustées, le diagnostic discret est w(k,T₂) ≥ w(k,T₁) pour T₂ > T₁. Le taux de variance forward de l’intervalle vaut v_fwd = [w(k,T₂) − w(k,T₁)]/(T₂ − T₁). Un résultat négatif ne possède pas de volatilité forward réelle et signale des données, un carry, des contrats ou un ajustement incohérents. Il n’identifie pas à lui seul une opération exécutable dont le résultat serait non négatif sur toutes les trajectoires.

Test de surface en sept étapes

  1. Définir la famille de droits. Consignez sous-jacent et symbole racine, call ou put, prix d’exercice, échéances, dernières heures de négociation, style européen ou américain, règlement en espèces ou physique, convention matinale ou vespérale, source officielle de règlement, multiplicateur, livrable, devise et statut d’ajustement. Ne mélangez pas des paiements juridiquement différents sous prétexte que leurs libellés se ressemblent.
  2. Synchroniser les données exécutables. Utilisez un seul horodatage de valorisation, flux, séance et état de cotation ; conservez cours acheteur, cours vendeur et taille affichée. Retirez ou signalez les cotations nulles, unilatérales, verrouillées, croisées, obsolètes et corrigées. Un cours médian peut servir au diagnostic, mais ne constitue pas un paquet exécutable.
  3. Construire les données d’actualisation et de forward. Pour chaque fraction d’année exacte, calculez des D(T) et F(T) cohérents à partir des taux, dividendes, emprunts de titres, distributions discrètes et conventions de devise. Conservez les versions des courbes et opérations sur titres utilisées par le solveur de volatilité implicite.
  4. Projeter sur une coordonnée commune. Convertissez chaque prix d’exercice en k = ln(K/F(T)). Interpolez ou ajustez prix et variance implicite pour un k comparable, au lieu de comparer le même prix d’exercice nominal avec des forwards différents. Utilisez une convention Black unique de cotation, décompte des jours et annualisation.
  5. Appliquer des contraintes indépendantes. Calculez Δw = w₂ − w₁, v_fwd = Δw/ΔT et sqrt(v_fwd) uniquement lorsque la valeur est non négative. Testez aussi les bornes de prix, la monotonie des spreads de calls, la convexité selon le strike ou les contraintes butterfly, les queues et l’incertitude acheteur-médian-vendeur ; la monotonie calendaire ne suffit pas à rendre toute la surface exempte d’arbitrage.
  6. Diagnostiquer les violations apparentes. Revérifiez exercice anticipé américain, dividendes discrets, emprunt, carry stochastique ou négatif, livraison en espèces ou physique, règlement AM ou PM, jours fériés, fuseaux, opérations sur titres, interpolation et extrapolation. Si les droits contractuels diffèrent, revenez à leurs bornes de prix plutôt que d’imposer la règle simple de variance totale.
  7. Séparer le signal de l’opération. Toute affirmation d’arbitrage exécutable doit préciser chaque achat au cours vendeur, vente au cours acheteur, taille, ratio, frais, marge, financement et couverture, ainsi que la livraison à l’échéance proche et l’exposition résiduelle de l’option éloignée. Sinon, qualifiez le résultat d’incohérence de surface, de modèle ou de qualité des données, et non de gain garanti.

Exemples détaillés

  • Diagnostic de variance forward négative. Pour un k comparable, soient T₁ = 30/365, T₂ = 90/365, σ₁ = 40% et σ₂ = 20%. Alors w₁ = 0.40² × 30/365 = 0.013150685, w₂ = 0.20² × 90/365 = 0.009863014 et ΔT = 60/365. Ainsi, v_fwd = (0.009863014 − 0.013150685)/(60/365) = −0.020000. Il n’existe aucun sqrt(v_fwd) réel à communiquer. Auditez les cotations synchronisées, forwards, dividendes, solveur et contrats avant d’interpréter le taux négatif.
  • Volatilité implicite éloignée plus faible mais test réussi. Conservez les mêmes échéances, mais utilisez σ₁ = 30% et σ₂ = 20%. On obtient w₁ = 0.30² × 30/365 = 0.007397260, w₂ = 0.009863014 et v_fwd = 0.015000. La volatilité forward vaut sqrt(0.015000) = 12.247449%. La volatilité implicite éloignée de 20% est inférieure à celle proche de 30%, mais la variance totale augmente et ce test calendaire est réussi.
  • Même prix d’exercice ne signifie pas même moneyness. Soient S₀ = 100, r = 5% continu, q = 1% continu, T₁ = 0.25 et T₂ = 0.75. Alors F₁ = 100e^[(0.05−0.01)×0.25] = 101.005017 et F₂ = 100e^[(0.05−0.01)×0.75] = 103.045453. Utiliser deux fois K = 100 donne k₁ = ln(100/F₁) = −0.010000, mais k₂ = ln(100/F₂) = −0.030000. Pour retrouver k₁ à l’échéance éloignée, utilisez K₂ = F₂e^(−0.01) = 102.020134, sous réserve d’une interpolation entre les prix d’exercice cotés.
  • Un spread calendaire ne verrouille pas un gain. Supposons une ouverture exécutable qui achète un call éloigné à son cours vendeur de $7.20 et vend un call proche à son cours acheteur de $4.80, pour un débit de $2.40 par unité avant coûts. À l’échéance proche, si S = K = $100, le paiement proche est $0 et le cours acheteur exécutable éloigné $3.10 ; le résultat de liquidation est donc $3.10 − $0 − $2.40 = +$0.70. Si S = $115, le paiement proche est $15 et le cours acheteur éloigné $15.80 ; le résultat est alors $15.80 − $15 − $2.40 = −$1.60. La conservation de l’option éloignée maintient des risques supplémentaires de prix, volatilité, temps et liquidité.

Risques et contrôles de validation

  • Maintenez cohérents le sous-jacent, le côté de l’option et la famille juridique de droits entre échéances.
  • Distinguez une comparaison à même strike d’une comparaison de surface à k constant.
  • Versionnez courbe d’actualisation, courbe forward, taux et fractions d’année exactes.
  • Modélisez dividendes annoncés et spéciaux à leur date et montant contractuels.
  • Intégrez emprunt de titres, coût des titres difficiles à emprunter et effets de rappel dans le forward.
  • Testez taux ou carry négatifs, stochastiques et dépendants de la devise sans présumer des entrées déterministes.
  • Séparez valeur d’exercice anticipé et assignation américaines des conditions européennes de surface.
  • Maintenez règlement en espèces et livraison physique dans des familles distinctes sauf raccord formel.
  • Appariez convention AM ou PM et valeur officielle de règlement de l’exercice.
  • Alignez dernière heure de négociation, horodatage, séance, fuseau, calendrier férié et horloge d’échéance.
  • Vérifiez multiplicateur, livrable, prix d’exercice et ajustement d’opération sur titres de chaque série.
  • Rejetez comme observations propres les flux obsolètes, asynchrones, corrigés, verrouillés, croisés ou unilatéraux.
  • Traitez cours médians et valorisations de modèle comme diagnostics, non comme produits exécutables.
  • Conservez cours acheteur, vendeur, profondeur, quantité entière et disponibilité des ordres combinés.
  • Validez inversion de volatilité implicite, bornes de prix, unités et tolérance numérique.
  • Contraignez interpolation et extrapolation au lieu de supposer que la régularité empêche l’arbitrage.
  • Testez monotonie par strike, convexité butterfly et limites de queue séparément de l’ordre calendaire.
  • Présentez incertitude des cotations, résidus d’ajustement, version du modèle et sensibilité au carry.
  • Intégrez frais, financement, marge, glissement, exécution séparée des jambes, couverture et liquidation aux affirmations d’opération.
  • Testez livraison proche, exposition résiduelle éloignée, gaps et échec de couverture dynamique.

Idées reçues fréquentes

  • « Une volatilité implicite éloignée plus faible constitue un arbitrage calendaire. » La variance totale peut augmenter même si la volatilité annualisée éloignée baisse.
  • « Le même strike possède la même moneyness. » Des forwards propres à chaque échéance produisent des valeurs k différentes.
  • « Une variance forward négative garantit un ordre rentable. » Elle révèle d’abord des entrées ou hypothèses incohérentes, et l’exécution peut ne pas exister.
  • « Acheter l’échéance éloignée et vendre la proche verrouille un paiement sans risque. » Le droit proche est réglé en premier et l’option éloignée conserve une exposition au marché.
  • « Une surface ajustée lisse est exempte d’arbitrage. » Les contraintes calendaires, butterfly, de bornes et de queues doivent être imposées et testées séparément.

Sujets connexes

Sources faisant autorité

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