À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.
Réponse directe
Un arbre trinomial valorise une option sur un treillis discret de temps et de prix où le sous-jacent monte, reste à un niveau intermédiaire ou baisse à chaque étape. Après calibrage des probabilités de transition neutres au risque, il calcule les paiements à l’échéance puis remonte jusqu’au présent en actualisant, à chaque nœud, la valeur pondérée par les probabilités.
La branche médiane supplémentaire offre davantage de degrés de liberté qu’un arbre binomial pour ajuster les moments, aligner les nœuds sur des prix d’exercice ou des barrières et améliorer le comportement numérique. Elle ne rend pas automatiquement le prix plus précis : paramétrage, nombre de pas, dividendes, règle d’exercice, traitement des limites et données de marché déterminent le résultat.
Les arbres sont particulièrement utiles aux options de type américain, car chaque nœud permet de comparer la valeur de continuation à l’exercice immédiat. Les trois prix sont des états numériques, pas la prévision des seuls prix que l’action prendra réellement. Cet article traite de la valorisation théorique d’options simples sur actions, notamment des options cotées aux États-Unis et émises par OCC, vérifiées au 2026-08-22 ; l’autorisation du courtier, la marge du compte et le traitement fiscal et juridique dépendent du produit et de la juridiction. Il faut donc confirmer les conditions en vigueur auprès du courtier, de la bourse, des documents OCC et de conseillers qualifiés.
Réseau et induction vers l’arrière
Pour un pas de durée Δt, définissez les multiplicateurs de prix u > m > d et les probabilités pᵤ, pₘ, p_d. Un arbre recombinant est paramétré pour que des trajectoires telles qu’une hausse suivie d’une baisse reviennent à un nœud existant, ce qui limite le nombre de nœuds. Ici, r et q sont des taux à capitalisation continue sur la durée du pas.
Les probabilités sans risque doivent satisfaire au moins :
pᵤ + pₘ + p_d = 1
et, avec un rendement en dividendes continu q,
pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).
Chaque schéma trinomial ajoute des conditions de variance ou d’ajustement des moments afin de déterminer les trois probabilités et multiplicateurs ; la normalisation et la croissance attendue ne suffisent pas à compléter un marché à une période et trois états, ni à choisir une mesure neutre au risque unique. Toutes les probabilités doivent être comprises entre zéro et un. Une « probabilité » négative signale un treillis invalide ou des paramètres incompatibles, pas une prévision négociable.
À l’expiration, définissez V = max(S−K,0) pour une Call (option d’achat, droit d’acheter) ou max(K−S,0) pour une Put (option de vente, droit de vendre). À chaque nœud précédent, la valeur de continuation européenne est
V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).
Pour une option américaine, utilisez
V = max(V_continue, intrinsic value).
Répétez jusqu’à la racine. Les dividendes en espèces discrets nécessitent que l’arborescence des actions ou les transitions de nœuds reflètent la baisse ex-dividende. Les grecs peuvent être estimés à partir de nœuds voisins, mais l’alignement de la grille et les différences finies introduisent du bruit numérique.
Exemple concret en une étape
Soit S₀ = $100, le prix d’exercice du Put K = $105 et le facteur de croissance sans risque sur un pas R = 1.02. Utilisez u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90 et les probabilités suivantes. Il s’agit de données pédagogiques hypothétiques, sans dividende, et non d’un calibrage sur une option cotée ou un jeu de données de marché.
pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15.
Ils totalisent un et la croissance attendue des stocks est
0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.
| Cours final de l’action | Paiement du Put max(105−S,0) |
Paiement pondéré par la probabilité |
|---|---|---|
$110 |
$0 |
$0 |
$100 |
$5 |
$2.50 |
$90 |
$15 |
$2.25 |
La valeur de l’option de vente européenne est
V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.
Pour un Put américain, la valeur d’exercice immédiat à la racine est $105 − $100 = $5. Puisque $5 > $4.6569, ce modèle à un pas choisit l’exercice et valorise le Put américain à $5.
À titre de contrôle, sous les mêmes hypothèses européennes et sans dividende, le Call correspondant paie $5 uniquement dans l’état de hausse ; ainsi, C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157. On obtient alors C − P = −$2.9412, égal à S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.
Vérifications du modèle et risques
- Indiquer le paramétrage exact de l’arbre ; « trinomial » ne définit pas à lui seul
u,dni les probabilités. - Rejeter les probabilités négatives et vérifier les conditions de croissance et de variance neutres au risque.
- Augmenter le nombre de pas et consigner la convergence plutôt que de se fier à un seul treillis.
- Comparer les résultats européens à Black-Scholes sous les mêmes hypothèses et vérifier la valeur intrinsèque ainsi que les bornes d’absence d’arbitrage.
- Comparer les valeurs américaines aux valeurs européennes et examiner la frontière d’exercice.
- Modéliser correctement dividendes discrets, taux, coût d’emprunt, modalité d’exercice, règlement et ajustements contractuels.
- Aligner sur le treillis les prix d’exercice, barrières et dates de dividende importants lorsque c’est possible.
- Soumettre à des tests de résistance la volatilité, le nombre de pas, la discrétisation du temps et les conditions aux limites.
- Séparer la valeur du modèle des prix Bid/Ask exécutables, des frais, du glissement et du volume disponible.
- Employer une implémentation indépendante ou des cas de référence pour détecter les erreurs d’indexation et d’actualisation.
Idées fausses courantes
- « Les trois branches prévoient hausse, stabilité et baisse. » Ce sont des états numériques calibrés pour la valorisation.
- « Les probabilités sont des fréquences historiques. » Ce sont des pondérations neutres au risque déterminées par le modèle.
- « Davantage de branches garantit la précision. » Un arbre trinomial mal calibré continue de produire des résultats erronés.
- « L’exercice anticipé de l’exemple prouve qu’un détenteur réel doit exercer maintenant. » Cette conclusion dépend d’un treillis très grossier et de données omises.
- « Le prix du modèle est une cotation équitable et exécutable. » L’exécution dépend de l’offre et de la demande, des écarts, des stocks et des coûts.
- « La convergence prouve que le modèle est vrai. » Elle montre seulement une stabilité numérique sous les hypothèses, pas que celles-ci décrivent le marché.