Réplication d'un swap de variance : d'une bande d'options à l'exposition à la variance

Découvrez comment une bande d'options hors de la monnaie approche un contrat logarithmique et la juste variance, comment calculer les poids par prix d'exercice et repérer les erreurs de réplication.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Périmètre : cet article présente une approximation illustrative de la variance équitable au moyen d’options de type européen, selon les hypothèses indiquées de trajectoire continue et de marché. Il ne définit aucun indice Cboe particulier, swap de variance de gré à gré, option cotée, compte de courtage, dispositif de marge ni traitement fiscal. Les conditions du produit, les règles de données, l’admissibilité, les protections et les conséquences juridiques ou fiscales varient selon la place de négociation, le compte, la juridiction et la date ; pour un cas précis, il convient de consulter les documents applicables à jour et des professionnels qualifiés.

Réponse directe

La réplication d’un swap de variance relie la variance réalisée des rendements à un portefeuille composé d’un payoff logarithmique, d’une position dynamique sur le forward ou le sous-jacent et de liquidités. Le payoff logarithmique à l’échéance peut à son tour être représenté par un continuum de Puts et de Calls européens couvrant différents prix d’exercice. On obtient ainsi une approximation pratique de la juste variance à partir d’une bande d’options.

L’idée essentielle n’est pas « acheter toutes les options et obtenir de la variance ». Sous des hypothèses idéalisées, les Puts hors de la monnaie situés sous un prix d’exercice de référence et les Calls situés au-dessus reçoivent des poids proportionnels à 1/K² ; la bande apporte la convexité à l’échéance, tandis que la négociation dynamique le long de la trajectoire relie ce payoff à la variance réalisée.

Les marchés réels n’offrent que des prix d’exercice discrets, des queues finies, des cotations Bid/Ask, une couverture discrète et un règlement spécifique au contrat. Le résultat est une approximation avec un risque explicite de réplication et d’exécution, et non un arbitrage garanti.

Du contrat logarithmique à la bande d’options

Pour une diffusion continue, la formule d’Itô appliquée au logarithme du prix relie les rendements carrés cumulés à une position négociée dynamiquement et à un payoff logarithmique terminal. Une identité de réplication statique décompose ensuite un payoff terminal suffisamment régulier en liquidités, forward et options sur l’ensemble des prix d’exercice. Pour le payoff logarithmique, la densité d’options varie comme 1/K².

Une approximation discrète de variance équitable largement utilisée est :

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

Ici, T est la durée jusqu’à l’échéance en années, F le forward implicite dans les options, K₀ le premier prix d’exercice égal ou inférieur à F, R le taux sans risque de même échéance et Q(Kᵢ) le prix retenu pour l’option. Dans une construction de type Cboe, on utilise les Puts OTM pour Kᵢ<K₀, les Calls OTM pour Kᵢ>K₀ et la moyenne du Put et du Call à K₀. Pour un prix d’exercice intérieur, ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2 ; aux extrémités, on utilise l’intervalle adjacent.

Le facteur 1/K² ne représente qu’une partie du poids. l’espacement du prix d’exercice ΔK, la durée, les taux, le prix, l’ajustement à terme et les règles de sélection des options comptent tous. Le résultat est une variance annualisée ; prendre sa racine carrée et multiplier par 100 produit un nombre de type volatilité uniquement si la variance n’est pas négative et que les conventions correspondent.

La méthodologie VIX est une implémentation observable liée aux mathématiques d’échange de variance, mais VIX lui-même est un indice avec des règles prescrites de sélection d’options, d’interpolation, de timing et de diffusion. Il n’est pas identique à chaque contrat d’échange de variance OTC ou à sa branche réalisée.

Exemple de contribution à un prix d’exercice

Considérez un Put OTM dans une bande à 30 jours. Soit T=30/365, R=4%, le prix d’exercice K=90, l’intervalle entre prix voisins ΔK=5 et le prix retenu Q(K)=$0.60 par unité d’indice. Sa contribution à la somme, facteur initial d’annualisation inclus, est :

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

Cela représente environ 90.4 points de base de variance, puisqu’un point de base de variance vaut 0.0001. Ce n’est pas toute la juste variance et √0.00904≈9.51% n’est pas la volatilité finale de la bande. Il faut additionner chaque prix d’exercice admissible puis soustraire le terme de correction du forward.

Supposons qu’une cotation périmée porte le prix retenu de ce Put à $0.90 au lieu de $0.60. Sa contribution calculée augmente de 50% pour atteindre environ 0.01356, ce qui montre que les cotations de queue, les règles de sélection et la liquidité peuvent modifier sensiblement l’estimation même si la formule est correctement appliquée.

Pour les options sur actions cotées, les primes indiquées sont généralement par action et un contrat standard comporte généralement un multiplicateur de 100 actions. Cette conversion en espèces du contrat est distincte de l’indice normalisé ou de la formule d’écart ; n’insérez jamais le multiplicateur sauf si la méthodologie propose des options d’achat pour celui-ci.

Lacunes et contrôles de réplication

Utilisez Calls, Puts, forward, taux et horodatages de la même échéance et du même instant d’observation ; des cotations asynchrones peuvent créer une fausse surface.
Dérivez F et K₀ selon une méthode documentée plutôt que de remplacer le spot mécaniquement.
Appliquez exactement les règles de sélection des prix d’exercice, de Bid ou Ask nul, de point médian, d’extrémité et d’interpolation ; ces choix modifient la bande.
Inspectez à la fois l’offre et la demande. Un calcul fluide du point médian ne prouve pas que l’ensemble du portefeuille peut être négocié simultanément.
Quantifier la troncature de la queue. L’absence d’options de vente à bas prix et d’options d’achat à prix élevé laisse le continuum théorique incomplet.
Comparez plusieurs grilles de prix d’exercice et filtres de cotation pour exposer la discrétisation et la sensibilité aux prix périmés.
Faites correspondre la définition de la variance réalisée : rendements logarithmiques ou simples, calendrier d’observation, fréquence d’échantillonnage, annualisation, règles de perturbation et prix de règlement.
Les identités de chemin continu peuvent entraîner des sauts et des erreurs d’échantillonnage discret ; la couverture dynamique introduit également des risques d’écart, de liquidité et de coûts de transaction.
Les opérations sur titres, dividendes, exercice américain, mode de règlement, impôts, marges et ajustements contractuels peuvent éloigner l’exécution des options cotées de la dérivation européenne idéalisée.
Un notionnel de variance peut créer une exposition non linéaire au dollar. Lisez le plafond de gain du contrat, le prix d’exercice de la variance, la convention notionnelle et les conditions de règlement.

Idées fausses courantes

« La règle 1/K² donne à elle seule le poids. » Il faut aussi ΔK, le prix de l’option, l’actualisation, la durée, la sélection et la correction du forward.
« Seules les options à l’argent déterminent la variance. » La construction utilise un large éventail d’options de vente et d’achat OTM.
« Le strip d’options à lui seul paie exactement la variance réalisée. » L’identité théorique contient également des conditions de négociation et de trésorerie dynamiques.
« Le VIX est un swap de variance. » Il s’agit d’un indice calculé selon sa propre méthodologie ; les paiements contractuels et les branches réalisées doivent être vérifiés séparément.
« Les prix d’exercice plus éloignés peuvent être ignorés car leurs primes sont faibles. » La queue permet de représenter les états extrêmes, et la troncature crée une erreur.
« Une formule sans modèle ne comporte aucune hypothèse. » Elle réduit la dépendance à l’égard d’un modèle de volatilité stochastique choisi, mais repose toujours sur les conditions du marché, du chemin, de l’échantillonnage et de la mise en œuvre.
« Une feuille de calcul correcte garantit une couverture exécutable. » Des spreads larges, des cotations périmées, des exécutions partielles, des marges et des coûts de rééquilibrage subsistent.

Sujets connexes

Sources faisant autorité

Un guide sur les swaps de volatilité et de variance — Kresimir Demeterfi, Emanuel Derman, Michael Kamal et Joseph Zou
Primes de risque de variation — Peter Carr et Liuren Wu
Méthodologie mathématique de l’indice de volatilité Cboe — Indices mondiaux Cboe
Caractéristiques et risques des options standardisées — Options Clearing Corporation