Bornes d'absence d'arbitrage des options : Call, Put et contrôles de parité

Appliquez les bornes de flux et la parité Put-Call à des cotations comparables, avec le portage, le style d'exercice, les prix exécutables et les clauses contractuelles appropriés.

À des fins éducatives uniquement ; ceci ne constitue pas un conseil en investissement. Tout investissement peut entraîner une perte.

Réponse directe

Les bornes d’absence d’arbitrage des options sont des inégalités de prix déduites de portefeuilles qui dominent ou répliquent les flux d’une option. Pour des Call et Put européens de mêmes caractéristiques sur une action sans dividende, les relations fondamentales sont :

max(0, S₀ − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀

max(0, Ke^(−rT) − S₀) ≤ p ≤ Ke^(−rT)

c − p = S₀ − Ke^(−rT)

Ici, c et p sont les valeurs actuelles des options, S₀ le cours au comptant, K le prix d’exercice, r un taux non négatif en capitalisation continue et T la durée jusqu’à l’échéance. La parité Put-Call et les bornes exigent le même droit sur le sous-jacent, le même prix d’exercice, la même échéance, le même style d’exercice, le même livrable et les mêmes modalités de règlement. Une cotation affichée hors borne appelle une enquête, mais ne prouve pas un gain sans risque exécutable.

Pourquoi les bornes sont valides

Le détenteur peut renoncer à exercer ; une option longue ne peut donc pas avoir une valeur négative. Sous ces hypothèses, un Call européen ne peut coûter plus que l’action et un Put européen plus que la valeur actuelle de K.

Pour la borne inférieure du Call, on compare l’action à un Call augmenté d’une créance zéro coupon coûtant Ke^(−rT). À l’échéance, cet ensemble vaut max(S_T − K, 0) + K = max(S_T, K), jamais moins que S_T. L’action augmentée du Put possède la même valeur terminale dominante. La loi du prix unique donne ainsi les inégalités indiquées ; la parité découle de flux terminaux identiques entre action plus Put et Call plus créance sur le prix d’exercice.

Avec un rendement du dividende continu et déterministe q, on remplace le comptant par la valeur du forward prépayé S₀e^(−qT) :

max(0, S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀e^(−qT)

max(0, Ke^(−rT) − S₀e^(−qT)) ≤ p ≤ Ke^(−rT)

c − p = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)

Pour des dividendes en espèces discrets connus, on utilise la valeur actuelle de ceux dont le droit revient à l’actionnaire pendant la vie de l’option. Les dividendes incertains sont des estimations, non des flux verrouillés. Taux négatifs, contraintes de prêt de titres, fiscalité ou courbes d’emprunt et de placement différentes imposent de construire les bornes à partir des facteurs d’actualisation réellement accessibles, sans reprendre mécaniquement les formules simplifiées.

L’exercice américain modifie le résultat. Avec un taux non négatif et une action ordinaire sans dividende, des bornes simples utiles sont max(0, S₀ − K) ≤ C ≤ S₀ et max(0, K − S₀) ≤ P ≤ K. L’égalité Put-Call européenne ne se transpose généralement pas, car chacune des options américaines peut être exercée par anticipation.

Exemple de contrôle d’une violation

Supposons qu’une action sans dividende cote $100, qu’un Call européen à un an ait K = $90 et que PV(K) = $86. Sa borne inférieure est $14. Si son Ask exécutable est $5 et si l’action peut réellement être vendue à découvert à $100, l’opération théorique consiste à :

vendre une action à découvert pour +$100 ;
acheter un Call pour −$5 ;
investir −$86 dans une créance zéro coupon qui verse $90 à l’échéance.

L’encaissement initial est +$9. À l’échéance, le flux restant est max(S_T − 90, 0) + 90 − S_T = max(90 − S_T, 0) et n’est donc jamais négatif. Avec un multiplicateur standard de 100 actions, l’encaissement initial apparent est $900 avant coût d’emprunt des titres, dividendes, Bid-Ask Spread, commissions, marge, fiscalité et risque d’exécution.

Comme diagnostic distinct, si les valeurs affichées sont c = $5 et p = $1, alors c − p = $4 tandis que S₀ − PV(K) = $14, soit un écart de parité de $10. Le calcul ne prouve toujours pas une opération : chaque jambe doit être évaluée du bon côté exécutable, synchronisée, disponible en taille suffisante et livrable juridiquement et opérationnellement.

Liste de contrôle des cotations

Faire correspondre exactement le sous-jacent ou droit de référence, la racine d’option, le prix d’exercice, l’échéance, Call ou Put et le style d’exercice.
Vérifier le multiplicateur, le livrable, les ajustements d’opérations sur titres, la devise et le règlement physique ou en espèces.
Utiliser des Bid et Ask synchronisés et exécutables pour le sens et la taille de chaque jambe, non Last, Mark ou Mid.
Aligner l’horodatage de l’action ou du forward sur les cotations des options et tenir compte des horaires différents.
Appliquer le facteur d’actualisation, le décompte des jours, la convention de capitalisation et le taux réel d’emprunt ou de placement pertinents.
Inclure les dividendes connus et dates ex-dividende ; tester les distributions incertaines, exceptionnelles, réduites ou supprimées.
Vérifier locate, disponibilité et coût de l’emprunt, rebate, collatéral, rappel, rachat forcé et paiement compensatoire du dividende.
Distinguer exercice européen et américain et modéliser exercice anticipé et assignation sur toute la période.
Utiliser la référence et le calendrier officiels de règlement, dont fin de négociation, heure limite d’exercice et comptabilisation des espèces ou titres.
Inclure commissions, frais de marché, impôts, marge, consommation de capital et coût d’opportunité.
Maîtriser exécutions partielles, jambes rejetées, suspensions, cotations périmées, taille insuffisante et exposition de legging.
Traiter d’abord une violation comme une exception de données, de contrat ou de modèle ; rapprocher positions et flux avant de parler d’arbitrage.

Idées reçues

« Toute violation à l’écran est de l’argent gratuit. » Les cotations périmées, croisées, unilatérales ou non exécutables sont fréquentes.
« La valeur intrinsèque est toujours la borne inférieure. » Actualisation, dividendes et style d’exercice déterminent la borne applicable.
« N’importe quels Call et Put sont comparables. » Les droits et clauses contractuelles doivent correspondre exactement.
« La parité au Mid prouve l’arbitrage. » Chaque achat requis se fait à l’Ask et chaque vente au Bid.
« Le taux sans risque est mon taux de financement. » Les conditions réelles d’emprunt, de placement, de collatéral et de marge peuvent différer.
« Les options américaines et européennes utilisent la même égalité. » Le droit d’exercice anticipé rompt la réplication européenne simple.
« Un prix inférieur au modèle de volatilité viole l’absence d’arbitrage. » La valeur de modèle est plus forte et plus dépendante des hypothèses qu’une borne de flux.
« Un encaissement initial positif suffit. » Financement, livraison, exercice, assignation et règlement futurs doivent aussi être verrouillés.