Arbitragem de calendário: variância total, moneyness a termo e execução

Teste superfícies de opções europeias quanto à coerência temporal usando variância total, moneyness a termo comparável, cotações executáveis, controles contratuais e limites da operação residual.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

A arbitragem de calendário da superfície é uma falha de coerência entre vencimentos em uma superfície normalizada de preços de opções. Não é sinônimo de uma operação discricionária de spread calendário. Para uma família comum de direitos europeus, carry determinístico, uma única convenção de volatilidade implícita de Black e moneyness logarítmico a termo comparável, definem-se o fator de desconto D(T), o termo F(T), k = ln(K/F(T)) e a variância total w(k,T) = σ_BS(k,T)²T. O preço normalizado da call é c(k,T) = C(K,T)/[D(T)F(T)].

Nesse contexto, uma superfície suave só está livre de arbitragem calendário se ∂w(k,T)/∂T ≥ 0 para k fixo; em dois cortes de vencimento ajustados, o diagnóstico discreto é w(k,T₂) ≥ w(k,T₁) quando T₂ > T₁. A taxa de variância a termo do intervalo é v_fwd = [w(k,T₂) − w(k,T₁)]/(T₂ − T₁). Um resultado negativo não possui volatilidade a termo real e sinaliza dados, carry, contratos ou ajuste incoerentes. Isoladamente, ele não identifica uma operação executável com resultado não negativo em todas as trajetórias.

Teste de superfície em sete etapas

Fixe a família de direitos. Registre ativo-objeto e raiz, call ou put, strikes, vencimentos, últimos horários de negociação, exercício europeu ou americano, liquidação financeira ou física, convenção AM ou PM, fonte oficial de liquidação, multiplicador, entregável, moeda e situação de ajuste. Não misture payoffs jurídicos distintos porque os rótulos parecem semelhantes.
Sincronize dados executáveis. Use um único timestamp de avaliação, feed, sessão e condição de cotação; preserve bid, ask e tamanho exibido. Remova ou sinalize cotações nulas, unilaterais, travadas, cruzadas, obsoletas e corrigidas. O ponto médio pode apoiar o diagnóstico, mas não é um pacote executável.
Construa desconto e termo. Para cada fração anual exata, calcule D(T) e F(T) coerentes a partir de taxas, dividendos, aluguel, distribuições discretas e convenções de moeda. Preserve as versões das curvas e dos eventos societários usadas pelo solver de volatilidade implícita.
Converta para uma coordenada comum. Transforme cada strike em k = ln(K/F(T)). Interpole ou ajuste preço e variância implícita em k comparável, em vez de comparar o mesmo strike nominal em termos diferentes. Use uma única convenção Black de cotação, contagem de dias e anualização.
Aplique restrições independentes. Calcule Δw = w₂ − w₁, v_fwd = Δw/ΔT e sqrt(v_fwd) apenas quando não negativo. Teste também limites de preço, monotonicidade do call spread, convexidade por strike ou restrições butterfly, caudas e incerteza bid-mid-ask; a monotonicidade temporal não completa uma superfície livre de arbitragem.
Diagnostique violações aparentes. Reavalie exercício antecipado americano, dividendos discretos, aluguel, carry estocástico ou negativo, entrega financeira ou física, liquidação AM ou PM, feriados, fusos, eventos societários, interpolação e extrapolação. Se os direitos contratuais diferirem, volte aos limites de preço do direito em vez de forçar a regra simples de variância total.
Separe sinal de operação. Ao alegar arbitragem executável, informe cada compra no ask, venda no bid, tamanho, proporção, tarifa, margem, financiamento e hedge, além da entrega do vencimento próximo e da exposição residual da opção distante. Caso contrário, classifique o resultado como incoerência de superfície, modelo ou qualidade de dados, não lucro garantido.

Exemplos detalhados

Diagnóstico de variância a termo negativa. Em k comparável, sejam T₁ = 30/365, T₂ = 90/365, σ₁ = 40% e σ₂ = 20%. Então w₁ = 0.40² × 30/365 = 0.013150685, w₂ = 0.20² × 90/365 = 0.009863014 e ΔT = 60/365. Logo, v_fwd = (0.009863014 − 0.013150685)/(60/365) = −0.020000. Não existe sqrt(v_fwd) real a reportar. Audite cotações sincronizadas, termos, dividendos, solver e contratos antes de interpretar a taxa negativa.
IV distante menor que passa no teste. Mantenha os vencimentos, mas use σ₁ = 30% e σ₂ = 20%. Agora w₁ = 0.30² × 30/365 = 0.007397260, w₂ = 0.009863014 e v_fwd = 0.015000. A volatilidade a termo é sqrt(0.015000) = 12.247449%. A IV distante de 20% fica abaixo da próxima de 30%, mas a variância total aumenta e o teste calendário passa.
Mesmo strike não é moneyness equivalente. Sejam S₀ = 100, r = 5% contínua, q = 1% contínua, T₁ = 0.25 e T₂ = 0.75. Então F₁ = 100e^[(0.05−0.01)×0.25] = 101.005017 e F₂ = 100e^[(0.05−0.01)×0.75] = 103.045453. Usar K = 100 duas vezes produz k₁ = ln(100/F₁) = −0.010000, mas k₂ = ln(100/F₂) = −0.030000. Para igualar k₁ no vencimento distante, use K₂ = F₂e^(−0.01) = 102.020134, sujeito à interpolação entre strikes listados.
Spread calendário não é lucro travado. Suponha abertura executável comprando call distante no ask de $7.20 e vendendo call próxima no bid de $4.80, por débito de $2.40 por unidade antes dos custos. No vencimento próximo, se S = K = $100, o payoff próximo é $0 e o bid executável distante é $3.10, então o resultado da liquidação é $3.10 − $0 − $2.40 = +$0.70. Se S = $115, o payoff próximo é $15 e o bid distante $15.80, então o resultado é $15.80 − $15 − $2.40 = −$1.60. Manter a opção distante deixa riscos adicionais de preço, volatilidade, tempo e liquidez.

Riscos e controles de validação

Mantenha ativo-objeto, lado da opção e família jurídica de direitos coerentes entre vencimentos.
Diferencie comparação de mesmo strike de comparação de superfície com k fixo.
Versione curva de desconto, curva a termo, taxas e frações anuais exatas.
Modele dividendos declarados e especiais na data e no valor contratuais.
Inclua aluguel de ações, custo hard-to-borrow e efeitos de chamada de devolução na construção do termo.
Teste taxas ou carry negativos, estocásticos e dependentes de moeda, sem presumir entradas determinísticas.
Separe valor de exercício antecipado americano e assignment das condições europeias de superfície.
Mantenha liquidação financeira e entrega física em famílias distintas, salvo ponte formal.
Iguale convenção AM ou PM e valor oficial de liquidação do exercício.
Alinhe último horário de negociação, timestamp, sessão, fuso, calendário de feriados e relógio de vencimento.
Verifique multiplicador, entregável, strike e ajuste societário de cada série.
Rejeite feeds obsoletos, assíncronos, corrigidos, travados, cruzados ou unilaterais como observações limpas.
Trate pontos médios e marcas de modelo como diagnósticos, não recursos executáveis.
Preserve bid, ask, profundidade, quantidade inteira e disponibilidade de ordem combinada.
Valide inversão de volatilidade implícita, limites de preço, unidades e tolerância numérica.
Restrinja interpolação e extrapolação, em vez de supor que suavidade evita arbitragem.
Teste monotonicidade por strike, convexidade butterfly e limites de cauda separadamente da ordem temporal.
Reporte incerteza das cotações, resíduos do ajuste, versão do modelo e sensibilidade ao carry.
Inclua tarifas, financiamento, margem, slippage, legging, hedge e liquidação nas alegações de operação.
Teste entrega próxima, exposição residual distante, gaps e falha do hedge dinâmico.

Equívocos comuns

“IV distante menor é arbitragem de calendário.” A variância total pode subir mesmo quando a IV anualizada distante cai.
“O mesmo strike tem o mesmo moneyness.” Termos distintos por vencimento geram valores k diferentes.
“Variância a termo negativa garante uma ordem lucrativa.” Primeiro revela entradas ou premissas incoerentes, e a execução pode não existir.
“Comprar distante e vender próximo trava payoff sem risco.” O direito próximo liquida primeiro e a opção distante mantém exposição de mercado.
“Uma superfície ajustada suave é livre de arbitragem.” Restrições calendário, butterfly, limites e caudas precisam ser impostas e testadas separadamente.

Tópicos relacionados

Fontes autorizadas

Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces - Condições de arbitragem estática SVI e SSVI, inclusive restrições temporais de variância total, não prova de que cotações brutas formem uma operação executável.
A Note on Sufficient Conditions for No Arbitrage - Condições suficientes em grades de calls europeias sob suas premissas, não tratamento de opções americanas.
Arbitrage-Free Smoothing of the Implied Volatility Surface - Suavização restrita e coerente da superfície, não interpolação ou preço de transação únicos.
The Range of Traded Option Prices - Faixas viáveis de preços europeus em conjuntos finitos de strikes e vencimentos sob premissas declaradas, não regra universal para todo direito.
Characteristics and Risks of Standardized Options - Direitos, ajustes, exercício, liquidação e riscos de opções padronizadas, não matemática de superfície.
S&P 500 Index Options Product Specifications - Exercício, liquidação financeira, multiplicador, AM/PM e última negociação específicos de SPX/SPXW, não regras para opções sobre ações.
Equity vs. Index Options - Diferenças gerais entre liquidação física e financeira, estilo e valor de liquidação sujeitas às regras do produto.
Option Quotes - Campos de bid, ask, tamanho, volatilidade e gregas com timestamp e limites de cobertura, não garantia de execução nem dados de mercados não americanos.