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Arbitrage butterfly : convexité par strike, spreads pondérés et exécution

Testez la convexité des calls européens avec des butterflies à strikes égaux ou inégaux, puis distinguez violations ajustées ou midpoint et arbitrage statique exécutable après profondeur, coûts, règlement et limites du compte.

Mis à jour

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Pour des calls européens homogènes sur le même sous-jacent et la même échéance, les prix sans arbitrage doivent être décroissants et convexes selon le strike. Avec des strikes équidistants K_1 = K − h, K_2 = K et K_3 = K + h, le butterfly de calls acheteur +1:−2:+1 coûte B = C(K_1) − 2C(K_2) + C(K_3) et présente un payoff final non négatif ; donc B ≥ 0 dans le modèle sans friction.

Une valeur ajustée ou midpoint négative n’est qu’un diagnostic. L’arbitrage statique exécutable exige des asks synchronisés pour les deux ailes achetées, des bids pour les deux calls centraux vendus, une taille suffisante, des spécifications identiques et un encaissement initial net encore positif après commissions, frais, financement, marge, fiscalité et règlement. Exercice américain, livraison physique, assignation partielle, exécution par jambes et liquidation du courtier peuvent créer des obligations intermédiaires même avec un payoff combiné non négatif à l’échéance.

Test de convexité et d’exécution en sept étapes

  1. Fixer un ensemble de droits homogènes. Consignez sous-jacent, racine, côté call, K_1 < K_2 < K_3, échéance, style d’exercice, règlement, multiplicateur, livrable, ajustement, devise, plateforme, horodatage et définition officielle de la valeur finale. Des spécifications différentes ne forment pas un test unique.
  2. Normaliser la géométrie des strikes. Pour un espacement égal, imposez K_2 − K_1 = K_3 − K_2 et le ratio +1:−2:+1. Sinon, définissez w = (K_3 − K_2) ÷ (K_3 − K_1) et testez C(K_2) ≤ wC(K_1) + (1 − w)C(K_3). Les quantités entières équivalentes sont proportionnelles à (K_3 − K_2):−(K_3 − K_1):(K_2 − K_1), simplifiées si possible.
  3. Séparer marques de recherche et côtés exécutables. Utilisez cotations et conditions synchronisées. Le butterfly acheteur paie l’ask de chaque aile positive et reçoit le bid de chaque call central négatif. Derniers cours, timestamps distincts, valeurs théoriques et midpoints diagnostiquent une surface, sans prouver un encaissement.
  4. Démontrer le payoff final par région. Évaluez S_T ≤ K_1, K_1 < S_T ≤ K_2, K_2 < S_T < K_3 et S_T ≥ K_3 avec le ratio exact et le S_T officiel. À espacement égal, le payoff est nul dans les deux queues et culmine à h en K_2 ; la structure pondérée a aussi des queues nulles et un intérieur non négatif.
  5. Convertir l’avantage en trésorerie exécutable. Multipliez le crédit net signé par le multiplicateur réel et les paquets complets, puis retranchez coûts initiaux et de cycle. Limitez la quantité à la profondeur simultanée de chaque jambe et respectez ratios, limites, marge, capital, prêt et autorisations.
  6. Stresser les ruptures du cycle. Testez rejet d’ordre complexe, exécutions partielles, legging, annulations, suspensions, assignation américaine anticipée ou partielle, exercice par exception, instructions contraires, actions et trésorerie du strike, règlement officiel, ajustements et liquidation du courtier. L’identité finale ne coordonne pas les jambes opérationnellement.
  7. Rapprocher et conserver les preuves. Sauvegardez cotations, feed ou plateforme, heure, tailles, ratio, limite, exécutions, frais, assignation, règlement, lots fiscaux et positions résiduelles. Revalorisez le paquet achevé et distinguez violation ajustée, opportunité cotée, ordre accepté et résultat réalisé réglé.

Exemples détaillés

  • Violation midpoint contre paquet exécutable. Les strikes sont K_1 = $90, K_2 = $100 et K_3 = $110. Les midpoints $15.00, $10.00 et $4.00 donnent B_mid = $15.00 − 2 × $10.00 + $4.00 = −$1.00, crédit théorique de $100 au multiplicateur 100 ; payoff maximal $10 × 100 = $1,000 à S_T = $100. Mais asks des ailes $15.30 et $4.25 et bid central $9.75 donnent B_exec = $15.30 − 2 × $9.75 + $4.25 = $0.05, débit de $5. La surface midpoint viole la convexité, pas les côtés exécutables.
  • Strikes inégaux et ratio entier. Soient K_1 = $90, K_2 = $100 et K_3 = $115. Alors w = ($115 − $100) ÷ ($115 − $90) = 0.60, donc C($100) ≤ 0.60C($90) + 0.40C($115). Avec C($90) = $16.00, C($100) = $11.20 et C($115) = $3.00, le côté droit vaut $10.80, violation normalisée de $0.40. Le ratio se réduit de +15:−25:+10 à +3:−5:+2 ; coût 3 × $16.00 − 5 × $11.20 + 2 × $3.00 = −$2.00, crédit de $200 au multiplicateur 100, et maximum $30 × 100 = $3,000 à S_T = $100.
  • Exemple européen cash-settled entièrement exécutable. Un ordre complexe +1:−2:+1 sur calls homogènes est exécuté pour un crédit de $0.12 au multiplicateur 100. Encaissement brut $0.12 × 100 = $12 ; quatre exécutions à $1 per contract laissent $12 − $4 = $8. À S_T = $103 pour strikes 100/105/110, payoff ($103 − $100) × 100 = $300, total avant impôt $8 + $300 = $308 ; dans les queues, $8 restent acquis. Arbitrage uniquement sous les hypothèses indiquées.
  • La profondeur limite l’échelle. Une cotation complexe offre $0.15 de crédit, mais les tailles couvrent 4 ailes basses, 12 calls centraux et 10 ailes hautes. Le ratio +1:−2:+1 permet min(4, 12 ÷ 2, 10) = 4 butterflies, pas 10. Crédit brut 4 × $0.15 × 100 = $60. À $0.65 per contract sur 4 × 4 = 16 contrats, les frais sont $10.40, laissant $60 − $10.40 = $49.60. Les six autres paquets ne sont pas prouvés exécutables ; vendre d’abord le centre crée des calls nus.

Risques et contrôles de validation

  • Alignez sous-jacent, racine, call, échéance, exercice, règlement, multiplicateur, livrable, devise et ajustement.
  • Vérifiez ordre et espacement exact des strikes avant de choisir ratios égaux ou pondérés.
  • Réduisez les ratios inégaux à des contrats entiers valides sans modifier les poids du payoff.
  • Utilisez asks synchronisés pour achats et bids pour ventes, non midpoint ou dernier cours.
  • Consignez source, plateforme, heure, séance, condition, taille affichée et latence.
  • Vérifiez la profondeur des paquets complets ; le centre consomme deux contrats.
  • Employez un ordre complexe au bon ratio ; le legging crée delta, gamma, vega et risque de gap.
  • Distinguez acceptation et exécution intégrale ; des fills partiels peuvent laisser des calls nus.
  • Incluez courtage, bourse, clearing, routage, financement, règlement et impôts.
  • Obtenez le traitement réglementaire et house de marge ; le capital peut dépasser l’avantage.
  • Vérifiez limites de position et d’exercice, autorisations, concentration et liquidation.
  • Séparez exercice américain ou européen et règlement physique, cash ou futures.
  • Modélisez assignation anticipée et partielle du centre vendu ; les ailes longues n’agissent pas automatiquement.
  • Vérifiez exercice par exception, instructions contraires, cutoffs, pin risk et mouvements after-hours.
  • Définissez S_T contractuellement ; clôture, indice live, ETF et futures peuvent différer du règlement officiel.
  • Recalculez après splits, fusions, distributions ou autres ajustements du livrable.
  • Traitez une densité fitted négative comme diagnostic jusqu’à confirmation par cotations exécutables.
  • Imposez surfaces décroissantes, convexes et cohérentes dans le calendrier sans masquer les données.
  • Stressez cotations périmées, marchés croisés, suspensions, ouvertures retardées, corrections et sorties indisponibles.
  • Rapprochez primes, actions, trésorerie du strike, règlement, marge, collatéral, frais et lots fiscaux.

Idées reçues

  • « Un butterfly midpoint négatif est de l’argent gratuit. » Les midpoints ne sont pas exécutables et les côtés naturels peuvent transformer crédit en débit.
  • « +1:−2:+1 fonctionne avec n’importe quels trois strikes. » Il exige un espacement égal ; les strikes inégaux nécessitent des poids et parfois beaucoup de contrats.
  • « Un payoff final non négatif élimine tout risque. » Exécutions partielles, assignation, financement, marge, règlement, courtier et fiscalité subsistent.
  • « Une densité fitted négative prouve une opération. » Lissage, interpolation et mauvaises cotations peuvent créer un signal sans paquet exécutable.
  • « Un petit avantage se développe au prix affiché. » La jambe la plus rare et le ratio limitent la quantité ; frais et impact absorbent l’avantage.

Sujets connexes

Sources faisant autorité

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