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Carteras replicantes de opciones: pagos por estado y valor sin arbitraje

Construya una réplica de una opción de un período a partir de acciones y préstamos, verifique cada estado terminal y comprenda por qué las coberturas dinámicas reales se apartan del modelo.

Actualizado

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Una cartera replicante combina instrumentos negociados para igualar el pago de una opción en cada estado del modelo. En un modelo binomial de un período, una acción más deuda o préstamo sin riesgo puede replicar exactamente una opción europea. Si los pagos contingentes al estado son idénticos, la ley del precio único exige el mismo valor actual; de lo contrario, podría comprarse el pago barato y venderse el caro.

Este es un resultado de fijación de precios condicional. La replicación exacta depende de los estados del modelo, las oportunidades comerciales, la financiación, las distribuciones, los términos del contrato y los supuestos de ejecución sin fricciones. En un mercado real con saltos, diferenciales, cobertura discreta, límites de endeudamiento y ejercicio anticipado, una cobertura normalmente es aproximada.

Resolver pagos por estado, no memorizar una fórmula

Sea S0 el precio actual de la acción. En la fecha siguiente será Su o Sd, con Su > Sd. La opción paga Cu o Cd, y R es el factor de crecimiento bruto sin riesgo. Se supone que la acción no distribuye efectivo durante el período; si lo hace, ese flujo debe incorporarse de forma coherente. Una cartera con Δ acciones y una posición de efectivo actual B0 tiene valores terminales:

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Restar las ecuaciones da:

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Entonces:

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

option value today = Δ × S0 + B0

Un B0 negativo significa endeudamiento. El cálculo debe verificar ambos estados terminales. Igualar sólo un beneficio esperado no es replicación.

Antes de valorar la opción, hay que comprobar que el propio mercado de acciones y efectivo cumple:

Sd < R × S0 < Su

Esta condición equivale a que la ponderación neutral al riesgo siguiente satisfaga 0 < q < 1. Si no se cumple, el modelo ya permite arbitraje entre la acción y el efectivo. Si se cumple, el precio de réplica puede contrastarse mediante:

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

Este q es una ponderación de precios implícita en la ausencia de arbitraje dentro del modelo, no necesariamente un pronóstico de la probabilidad real de un movimiento alcista.

En un árbol de varios períodos, la cartera se resuelve en cada nodo. Una cobertura autofinanciada cambia las tenencias de acciones y efectivo utilizando únicamente el valor que ya está dentro de la estrategia, sin depósitos o retiros externos inexplicables. Los modelos de opciones de tiempo continuo idealizan este reequilibrio; Las coberturas reales son discretas.

Réplica de opción de compra (Call) de un período

Supongamos:

  • S0 = USD 100;
  • la acción del próximo período vale Su = USD 120 o Sd = USD 80;
  • una opción de compra europea tiene precio de ejercicio USD 100, por lo que Cu = USD 20 y Cd = USD 0;
  • el factor libre de riesgo bruto del período es R = 1.02.

Tenencia de acciones:

Δ = (USD 20 - USD 0) / (USD 120 - USD 80) = 0.5 share

Posición actual de caja:

B0 = (USD 20 - 0.5 × USD 120) / 1.02 = -USD 39.2157

Costo de la réplica:

0.5 × USD 100 - USD 39.2157 = USD 10.7843

Verifique cada estado:

Estado Componente de acciones Pago en efectivo Liquidación de la cartera Pago de opción de compra
Arriba USD 60 -USD 40 USD 20 USD 20
Abajo USD 40 -USD 40 USD 0 USD 0

Control cruzado neutral al riesgo:

q = (1.02 × USD 100 - USD 80) / (USD 120 - USD 80) = 0.55

[USD 20 × 0.55 + USD 0 × 0.45] / 1.02 = USD 10.7843

Como referencia, si el derecho utiliza un multiplicador de 100 acciones, el valor del modelo es USD 1.078,43 por contrato; el componente inicial es de 50 acciones y se combina con un préstamo del modelo de USD 3.921,57. Las opciones estándar sobre acciones de Estados Unidos suelen representar 100 acciones, aunque las operaciones corporativas pueden ajustar el entregable. Siguen siendo cantidades teóricas antes de diferenciales, financiación, margen, comisiones, distribuciones y restricciones de acciones enteras.

Si la opción de compra de mercado se ofrece a USD 11,20, la brecha USD 0.4157 de la réplica sin fricción no es un arbitraje negociable automáticamente. Tanto la opción como la cobertura deben ser ejecutables en lados y tamaños relevantes; Deben incluirse el financiamiento, el préstamo de acciones, el estilo de ejercicio, los dividendos y los costos de liquidación.

Límites y riesgos de replicación

  • Riesgo de modelo de estado: el stock real puede terminar fuera o entre sucursales supuestas.
  • Riesgo de salto: los precios pueden moverse antes de que se reequilibre la cobertura.
  • Riesgo de cobertura discreta: el ajuste continuo no está disponible en la práctica.
  • Costos de transacción: las operaciones repetidas, los diferenciales, las tarifas y el impacto del mercado consumen valor teórico.
  • Riesgo de financiación: las tasas de endeudamiento y de préstamo del comerciante difieren de la tasa del modelo.
  • Riesgo de dividendos y préstamos: las distribuciones y la disponibilidad de acciones alteran la economía de operaciones.
  • Riesgo de ejercicio temprano: una opción americana requiere decisiones de ejercicio en nodos intermedios.
  • Riesgo de volatilidad superficial: las opciones reales entre precios de ejercicio y vencimientos no siguen una entrada de volatilidad fija.
  • Riesgo de liquidez: la opción o cobertura puede no negociarse en el tamaño y tiempo requeridos.
  • Riesgo del contrato: el multiplicador, la entrega, la liquidación en efectivo y los ajustes deben coincidir con el pago modelado.
  • Confusión entre modelo y arbitraje: una diferencia de precio teórica no es una operación ejecutable sin riesgos.

Errores comunes

  • “La replicación coincide con el resultado promedio”. Debe coincidir con todos los estados modelados.
  • “Delta permanece en 0,5 hasta el vencimiento”. En un mercado en vivo o de varios períodos, Delta cambia y requiere reequilibrio.
  • “La probabilidad neutral al riesgo es la probabilidad verdadera”. Es una ponderación de precios según los supuestos del modelo.
  • “La réplica elimina todos los riesgos”. Los riesgos de modelo, salto, ejecución, financiación y contrato permanecen.
  • “Una diferencia teórica es el arbitraje gratuito”. Todos los tramos, tamaños, plazos, financiación y costos deben ser ejecutables.
  • “El endeudamiento es sólo una notación.” Es una posición de efectivo económica con limitaciones de financiación y margen.
  • “Las opciones europeas y americanas se replican de manera idéntica”. El ejercicio temprano cambia el problema de valoración.
  • “La replicación de un período demuestra que una cobertura continua funciona exactamente”. El reequilibrio real es discreto y depende de la trayectoria.

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