期權複製組合：狀態支付與無套利價格

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

複製組合使用可交易工具，在模型表示的每個未來狀態產生與期權相同的支付。一期二叉樹模型中，股票加無風險借貸可以精確複製歐式期權。若期權與組合在每個狀態支付相同，無套利邏輯要求目前價值相同。

這是有條件的定價結論。精確複製依賴模型狀態、交易機會、融資、分配、合約條款與無摩擦執行假設。現實有跳空、價差、離散避險、借券限制和提前履約，因此避險通常只是近似。

今日股價 S0，下一期為 Su 或 Sd，期權支付 Cu 或 Cd。一期無風險總成長因子為 R。持有 Δ 股與目前現金部位 B0 的組合到期為：

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

因此：

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

期權目前價值 = Δ × S0 + B0

負 B0 代表借款。必須核對兩個到期狀態；只匹配期望支付不叫複製。

風險中性機率交叉檢查為：

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

期權價值 = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

q 是模型內無套利定價權重，不一定是現實上漲機率預測。

多期樹在每個節點重算組合。自融資避險只用策略內已有價值改變股票和現金，不加入無法解釋的外部存取款。連續時間模型將再平衡理想化；真實避險是離散的。

假設 S0 = $100，下一期 Su = $120 或 Sd = $80；歐式 Call 履約價 $100，因此 Cu = $20、Cd = $0；R = 1.02。

Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 股

B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157

複製成本 = 0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843

狀態	股票部分	現金償還	組合支付	Call支付
上漲	$60	-$40	$20	$20
下跌	$40	-$40	$0	$0

q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55

[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843

標準乘數100時，模型合約價值 $1,078.43，初始股票部分50股，搭配模型借款 $3,921.57。這些是買賣價差、實際融資、保證金、費用、股息與整數限制前的理論數量。

若市場 Call Ask 為 $11.20，與無摩擦複製的 $0.4157 差額不自動構成可交易套利。期權與避險都要按相關價格和數量成交，並計入融資、借券、履約方式、股息與退出成本。