僅供教育用途，不構成投資建議。投資可能導致損失。
直接回答
複製投資組合將可交易工具組合起來，使其在模型所表示的每一種狀態下，都產生與選擇權相同的報酬。在一期二項樹模型中，股票加上無風險借款或放款，可以精確複製歐式選擇權。如果選擇權與複製組合的狀態依存報酬完全相同，一價定律就要求兩者今天的價值相同；否則，可以買進較便宜的報酬並賣出較昂貴的報酬。
這是以模型條件為前提的結果，並不表示選擇權的市場報價必須等於某一個計算值。精確複製取決於指定的狀態、可用工具、融資、分配、契約條款與無摩擦執行。若存在價格跳躍、買賣價差、離散再平衡、融資限制或提前履約，實際避險通常只能近似複製。
求解狀態報酬，而不是背誦公式
設今天的股價為 S0。下一時點股價為 Su 或 Sd，且 Su > Sd。選擇權的報酬分別為 Cu 或 Cd。設 R 為該期間的無風險總成長因子。假設股票在期間內沒有現金分配；若有，必須一致地納入該現金流。持有 Δ 股股票與目前現金部位 B0 的投資組合，其終值為：
Δ × Su + B0 × R = Cu
Δ × Sd + B0 × R = Cd
兩式相減可得：
Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)
接著：
B0 = (Cu - Δ × Su) / R
option value today = Δ × S0 + B0
B0 為負表示借款。計算必須驗證兩個到期狀態；僅讓期望報酬或平均報酬相同，並不構成複製。
在替選擇權定價前，先檢查股票與現金構成的市場本身是否滿足：
Sd < R × S0 < Su
這個條件等價於下述風險中立權重滿足 0 < q < 1。若不滿足，模型中的股票與現金之間已經存在套利。滿足時，可用下式交叉核對複製價格：
q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)
option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R
這裡的 q 是模型內由無套利關係推出的定價權重，未必是股價上漲的真實世界機率預測。
在多期二項樹中，每一個節點都要重新求解投資組合。自籌資金避險只使用策略內既有的價值調整股票與現金部位，不包含無法解釋的外部存入或提領。連續時間模型將這種再平衡理想化；現實避險只能在離散的時間與價格上交易。
一期買權複製
假設：
S0 = $100；- 下一期股價為
Su = $120或Sd = $80； - 一份歐式買權的履約價為
$100，因此Cu = $20、Cd = $0； - 該期間的無風險總成長因子為
R = 1.02。
股票部位：
Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 share
目前現金部位：
B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157
複製成本：
0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843
逐一驗證狀態：
| 狀態 | 股票部分 | 現金償還 | 投資組合報酬 | 買權報酬 |
|---|---|---|---|---|
| 上漲 | $60 | -$40 | $20 | $20 |
| 下跌 | $40 | -$40 | $0 | $0 |
風險中立交叉核對：
q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55
[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843
為便於理解規模，若該權利使用 100 股乘數，模型價值為每份契約 $1,078.43，初始股票部分為 50 股，並搭配模型中的 $3,921.57 借款。標準美國股票選擇權通常代表 100 股，但公司行動可能調整交割標的。在納入價差、融資差異、保證金、費用、股息與整股限制前，這些仍只是理論數量。
如果市場上該買權的賣價為 $11.20，它與無摩擦複製組合之間的 $0.4157 差額並不會自動形成可執行套利。選擇權及每一個避險部位都必須能依相關買價或賣價及數量成交；還必須納入融資、借券、履約方式、分配、保證金與平倉成本。
複製的限制與風險
- 狀態模型風險：股價最終可能落在假設分支之外或兩者之間。
- 跳躍風險：價格可能在避險再平衡前發生跳躍。
- 離散避險風險：現實中無法連續調整。
- 交易成本：反覆交易、價差、費用與市場衝擊會消耗理論價值。
- 融資風險：實際借款與放款利率不同於模型利率。
- 分配與借券風險：股息、其他分配及股票可借性會改變持有成本。
- 提前履約風險：美式選擇權需要在中間節點作出履約決策。
- 波動率曲面風險：現實中不同履約價與到期日的選擇權並不服從單一固定波動率輸入。
- 流動性風險：選擇權或避險工具可能無法在所需時間按所需數量成交。
- 契約風險：履約方式、乘數、交割標的、結算與調整必須符合模型報酬。
- 模型套利混淆：理論價差並不會自動等於無風險且可執行的交易。
常見誤解
- 「複製只需符合平均報酬。」它必須符合模型中的每一種狀態。
- 「Delta 會一直維持 0.5 直到到期。」在多期模型或真實市場中，Delta 會改變，需要再平衡。
- 「風險中立機率就是真實機率。」它是模型假設下的定價權重。
- 「複製投資組合消除了所有風險。」模型、跳躍、執行、融資與契約風險仍然存在。
- 「有理論價差就是免費套利。」每一個部位、數量、時點、融資條款與成本都必須可執行。
- 「借款只是一種符號。」它是受融資與保證金限制的真實經濟現金部位。
- 「歐式和美式選擇權的複製完全相同。」提前履約會增加中間節點的決策並改變估值問題。
- 「一期複製證明連續避險可以精確實現。」現實中的再平衡是離散且取決於路徑的。
相關主題
權威來源
- 標準化選擇權的特性與風險 — OCC
- 股票選擇權產品規格 — OCC
- 選擇權與公司負債的定價 — Black 與 Scholes，Journal of Political Economy
- 理性選擇權定價理論 — Merton，The Bell Journal of Economics and Management Science
- 選擇權定價：一種簡化方法 — Cox、Ross 與 Rubinstein，Journal of Financial Economics