オプション複製ポートフォリオ：状態ペイオフと無裁定価格

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

複製ポートフォリオは、モデルの全将来状態でオプションと同じペイオフを生むように取引可能商品を組み合わせます。一期間二項モデルでは株式と無リスク借入・貸付で欧州型オプションを正確に複製できます。全状態のペイオフが同じなら、無裁定により現在価値も同じです。

これは条件付き価格結果です。正確な複製は状態、取引機会、資金調達、分配、契約条件、摩擦なし執行に依存します。現実にはジャンプ、スプレッド、離散ヘッジ、借株制約、早期行使があり、通常は近似です。

現在株価 S0、次期株価 Su または Sd、オプション支払 Cu または Cd、期間の無リスク総成長率 R とします。Δ 株と現在現金 B0 の終端価値は：

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

現在オプション価値 = Δ × S0 + B0

負の B0 は借入です。両終端状態を検証しなければならず、期待ペイオフだけの一致は複製ではありません。

リスク中立確率でも確認できます。

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

オプション価値 = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

q はモデル内の無裁定価格ウェイトで、現実の上昇確率予測とは限りません。

多期間ツリーでは各ノードで再計算します。自己資金調達ヘッジは戦略内部の価値だけで株式と現金を変更します。連続時間モデルは再調整を理想化しますが、現実は離散的です。

S0 = $100、次期 Su = $120 または Sd = $80、行使価格 $100 の欧州型Callで Cu = $20、Cd = $0、R = 1.02 とします。

Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5株

B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157

複製費用 = 0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843

状態	株式部分	現金返済	組合せ支払	Call支払
上	$60	-$40	$20	$20
下	$40	-$40	$0	$0

q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55

[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843

乗数100ならモデル契約価値は $1,078.43、初期株式部分50株、モデル借入 $3,921.57 です。スプレッド、実資金調達、証拠金、費用、配当、整数制約前の理論量です。

市場Call Askが $11.20 でも、摩擦なし複製との差 $0.4157 は自動的な裁定ではありません。両脚の価格・数量、資金調達、借株、行使方式、配当、出口費用を含めます。