教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。
直接の答え
複製ポートフォリオは、モデルの各状態でオプションと同じペイオフになるよう取引可能な商品を組み合わせます。一期間二項モデルでは、株式と無リスクの借入・貸付で欧州型オプションを正確に複製できます。状態依存ペイオフが同じなら一物一価の法則により現在価値も同じであり、違えば安いペイオフを買って高い方を売れます。
これは条件付き価格結果です。正確な複製は状態、取引機会、資金調達、分配、契約条件、摩擦なし執行に依存します。現実にはジャンプ、スプレッド、離散ヘッジ、借株制約、早期行使があり、通常は近似です。
公式ではなく状態ペイオフを解く
現在株価を S0、次期株価を Su または Sd とし、Su > Sd とします。オプション支払は Cu または Cd、期間の無リスク総成長率は R です。期間中に株式の現金分配がないと仮定し、ある場合はそのキャッシュフローを一貫して含めます。Δ 株と現在現金 B0 の終端価値は次のとおりです。
Δ × Su + B0 × R = Cu
Δ × Sd + B0 × R = Cd
Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)
B0 = (Cu - Δ × Su) / R
option value today = Δ × S0 + B0
負の B0 は借入です。両終端状態を検証しなければならず、期待ペイオフだけの一致は複製ではありません。
オプションを評価する前に、株式と現金からなる市場自体が次を満たすことを確認します。
Sd < R × S0 < Su
これは、以下のリスク中立ウェイトが 0 < q < 1 を満たすことと同値です。満たさなければ、モデル内の株式と現金の間にすでに裁定機会があります。満たす場合、複製価格を次式で照合できます。
q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)
option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R
q はモデル内の無裁定価格ウェイトで、現実の上昇確率予測とは限りません。
多期間ツリーでは各ノードで再計算します。自己資金調達ヘッジは戦略内部の価値だけで株式と現金を変更します。連続時間モデルは再調整を理想化しますが、現実は離散的です。
一期間Callの複製
次のように仮定します：
S0 = $100。- 次期株価は
Su = $120またはSd = $80。 - 欧州型Callの行使価格は
$100なので、Cu = $20、Cd = $0。 - 一期の無リスク総成長率は
R = 1.02。
Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 share
B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157
0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843
| 状態 | 株式部分 | 現金返済 | 組合せ支払 | Call支払 |
|---|---|---|---|---|
| 上 | $60 | -$40 | $20 | $20 |
| 下 | $40 | -$40 | $0 | $0 |
q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55
[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843
規模の目安として、この請求権が100株の乗数を使うなら、モデル契約価値は $1,078.43、初期株式部分は50株、モデル借入は $3,921.57 です。米国の標準的な株式オプションは通常100株を表しますが、コーポレートアクションで受渡対象が調整されることがあります。いずれもスプレッド、資金調達、証拠金、費用、分配、整数株制約を考慮する前の理論量です。
市場Call Askが $11.20 でも、摩擦なし複製との差 $0.4157 は自動的な裁定ではありません。両脚の価格・数量、資金調達、借株、行使方式、配当、出口費用を含めます。
複製の限界とリスク
- 状態モデル：実株価は想定分岐外・間に着地します。
- ジャンプ：再調整前に価格が動きます。
- 離散ヘッジ：連続調整は実行できません。
- 取引費用：反復売買、スプレッド、費用、インパクトが価値を消費します。
- 資金調達：実借入・貸付率はモデルと異なります。
- 配当・借株：分配と在庫がキャリーを変えます。
- 早期行使：米国型は中間ノードの行使判断が必要です。
- サーフェス：現実の行使価格・満期は単一IVに従いません。
- 流動性：必要時点・数量で取引できない場合があります。
- 契約：乗数、受渡、現金決済、調整をペイオフと合わせます。
- 裁定混同：理論価格差は無リスク実行取引ではありません。
よくある誤解
- 「平均ペイオフを合わせればよい。」全モデル状態で一致が必要です。
- 「Deltaは満期まで0.5だ。」多期間・現実市場では変化します。
- 「リスク中立確率は真の確率だ。」モデル価格ウェイトです。
- 「複製は全リスクを消す。」モデル、ジャンプ、執行、資金、契約リスクが残ります。
- 「理論差は無料裁定だ。」全脚、数量、時刻、資金、費用が実行可能でなければなりません。
- 「借入は数学記号だ。」資金・証拠金制約のある現金ポジションです。
- 「欧州型と米国型は同じだ。」早期行使が問題を変えます。
- 「一期間複製で連続ヘッジも正確だ。」現実は離散かつ経路依存です。
関連トピック
権威ある情報源
- 標準化オプションの特性とリスク — OCC
- 株式オプションの商品仕様 — OCC
- オプションと企業負債の価格決定 — Black と Scholes、Journal of Political Economy
- 合理的オプション価格理論 — Merton、The Bell Journal of Economics and Management Science
- 簡易オプション価格法 — Cox、Ross、Rubinstein、Journal of Financial Economics