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Carteiras replicantes de opções: pagamentos por estado e valor sem arbitragem

Construa uma réplica de opção de um período a partir de ações e empréstimos, verifique cada estado terminal e entenda por que os hedges dinâmicos reais se afastam do modelo.

Atualizado

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Uma carteira replicante combina instrumentos negociados para igualar o pagamento de uma opção em cada estado do modelo. Em um modelo binomial de um período, ação e financiamento livre de risco podem replicar exatamente uma opção europeia. Se os pagamentos contingentes ao estado forem idênticos, a lei do preço único exige o mesmo valor hoje; caso contrário, seria possível comprar o pagamento mais barato e vender o mais caro.

Este é um resultado de precificação condicional. A replicação exata depende dos estados do modelo, das oportunidades de negociação, do financiamento, das distribuições, dos termos do contrato e das suposições de execução sem atrito. Num mercado real com saltos, spreads, cobertura discreta, limites de empréstimo e exercício antecipado, uma cobertura é normalmente aproximada.

Resolva os pagamentos por estado, não memorize uma fórmula

Seja S0 o preço atual da ação. Na data seguinte ele será Su ou Sd, com Su > Sd. A opção paga Cu ou Cd, e R é o fator bruto de crescimento livre de risco. Supõe-se que a ação não distribua caixa durante o período; caso distribua, esse fluxo deve ser incluído de modo consistente. Uma carteira com Δ ações e posição atual de caixa B0 tem valores terminais:

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Subtraindo as equações dá:

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Então:

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

option value today = Δ × S0 + B0

Um B0 negativo significa empréstimo. O cálculo deve verificar ambos os estados terminais. Corresponder apenas a um retorno esperado não é replicação.

Antes de precificar a opção, verifique se o próprio mercado de ação e caixa satisfaz:

Sd < R × S0 < Su

Essa condição equivale a exigir 0 < q < 1 para o peso neutro ao risco abaixo. Se ela falhar, o modelo já admite arbitragem entre a ação e o caixa. Se for válida, o preço da réplica pode ser conferido por:

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

Este q é um peso de preço implícito na não arbitragem dentro do modelo, não necessariamente uma previsão da probabilidade real de um movimento ascendente.

Em uma árvore multiperíodo, a carteira é recalculada em cada nó. Um hedge autofinanciado altera as posições em ações e caixa usando apenas o valor já presente na estratégia, sem aportes ou retiradas externas sem explicação. Modelos em tempo contínuo idealizam esse rebalanceamento; hedges reais são discretos.

Réplica de opção de compra (Call) de um período

Suponha:

  • S0 = USD 100;
  • a ação do próximo período é Su = USD 120 ou Sd = USD 80;
  • uma Opção de compra Europeia tem strike USD 100, portanto Cu = USD 20 e Cd = USD 0;
  • o fator livre de risco bruto do período é R = 1.02.

Participação em ações:

Δ = (USD 20 - USD 0) / (USD 120 - USD 80) = 0.5 share

Posição atual de caixa:

B0 = (USD 20 - 0.5 × USD 120) / 1.02 = -USD 39.2157

Custo da réplica:

0.5 × USD 100 - USD 39.2157 = USD 10.7843

Verifique cada estado:

Estado Componente de ações Reembolso em dinheiro Pagamento do portfólio Pagamento de opção de compra
Acima USD 60 -USD 40 USD 20 USD 20
Para baixo USD 40 -USD 40 USD 0 USD 0

Verificação cruzada neutra em termos de risco:

q = (1.02 × USD 100 - USD 80) / (USD 120 - USD 80) = 0.55

[USD 20 × 0.55 + USD 0 × 0.45] / 1.02 = USD 10.7843

Para dar escala, se o direito usar um multiplicador de 100 ações, o valor do modelo será USD 1.078,43 por contrato; o componente inicial será de 50 ações, junto a um empréstimo do modelo de USD 3.921,57. Opções padrão sobre ações dos Estados Unidos normalmente representam 100 ações, mas eventos societários podem ajustar o ativo entregável. Esses valores continuam teóricos antes de spreads, financiamento, margem, taxas, distribuições e restrições de ações inteiras.

Se a opção de compra de mercado for oferecida em USD 11,20, a lacuna USD 0.4157 da réplica sem atrito não é uma arbitragem automaticamente negociável. Tanto a opção quanto o hedge devem ser executáveis ​​em lados e tamanhos relevantes; financiamento, empréstimo de ações, estilo de exercício, dividendos e custos de liquidação devem ser incluídos.

Limites e riscos de replicação

  • Risco de modelo de estado: a ação real pode terminar fora ou entre filiais presumidas.
  • Risco de salto: os preços podem se mover antes que o hedge seja reequilibrado.
  • Risco de cobertura discreta: o ajuste contínuo não está disponível na prática.
  • Custos de transação: negociações repetidas, spreads, taxas e impacto no mercado consomem valor teórico.
  • Risco de financiamento: as taxas de empréstimo e empréstimo do trader diferem da taxa modelo.
  • Risco de dividendos e empréstimos: as distribuições e a disponibilidade de ações alteram a economia de transporte.
  • Risco de exercício antecipado: uma opção de estilo americano requer decisões de exercício em nós intermediários.
  • Risco de superfície de volatilidade: as opções reais entre exercícios e vencimentos não seguem uma entrada fixa de volatilidade.
  • Risco de liquidez: a opção ou hedge pode não ser negociado no tamanho e no prazo exigidos.
  • Risco de contrato: multiplicador, entrega, liquidação financeira e ajustes devem corresponder ao retorno modelado.
  • Confusão de modelo-arbitragem: uma diferença de preço teórica não é uma negociação executável sem risco.

Erros comuns

  • “A replicação corresponde ao retorno médio.” Ela deve corresponder a todos os estados modelados.
  • “Delta permanece 0,5 até o vencimento.” Em um mercado multiperíodo ou ao vivo, o Delta muda e requer reequilíbrio.
  • “A probabilidade neutra ao risco é a verdadeira probabilidade.” É um peso de precificação sob as premissas do modelo.
  • “A réplica elimina todos os riscos.” Os riscos de modelo, salto, execução, financiamento e contrato permanecem.
  • “Uma diferença teórica é a arbitragem livre.” Todos os trechos, tamanhos, prazos, financiamento e custos devem ser executáveis.
  • “O empréstimo é apenas uma notação.” É uma posição econômica de caixa com restrições de financiamento e margem.
  • “As opções europeias e americanas replicam-se de forma idêntica.” O exercício antecipado altera o problema de avaliação.
  • “A replicação de um período prova que um hedge contínuo funciona exatamente.” O reequilíbrio real é discreto e depende do caminho.

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