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옵션 복제 포트폴리오: 상태별 지급과 무차익 가격

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

섹션 제목: “직접 답변”

복제 포트폴리오는 모델이 나타내는 모든 미래 상태에서 옵션과 같은 지급을 만들도록 거래 가능한 상품을 조합합니다. 1기간 이항모형에서는 주식과 무위험 차입·대여로 유럽식 옵션을 정확히 복제할 수 있습니다. 모든 상태 지급이 같다면 무차익 논리에 따라 현재 가치도 같아야 합니다.

이는 조건부 가격결정 결과입니다. 정확한 복제는 모델 상태, 거래 기회, 금융비용, 분배, 계약 조건, 마찰 없는 체결 가정에 의존합니다. 현실에는 갭, 스프레드, 불연속 헤지, 주식차입 제약, 조기 행사가 있어 보통 근사일 뿐입니다.

암기 공식이 아니라 상태별 지급 풀기

섹션 제목: “암기 공식이 아니라 상태별 지급 풀기”

현재 주가 S0, 다음 기간 주가 Su 또는 Sd, 옵션 지급 Cu 또는 Cd, 기간 무위험 총성장계수 R이라고 합시다. Δ주와 현재 현금 B0의 만기값은:

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

현재 옵션 가치 = Δ × S0 + B0

음의 B0는 차입입니다. 두 만기 상태를 모두 검증해야 하며 기대 지급만 맞추는 것은 복제가 아닙니다.

위험중립 확률로도 확인합니다.

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

옵션 가치 = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

q는 모델 안 무차익 가격 가중치이며 실제 상승 확률 예측과 같을 필요가 없습니다.

다기간 트리는 각 노드에서 다시 풉니다. 자기금융 헤지는 설명되지 않은 외부 입출금 없이 전략 내부 가치만으로 주식과 현금을 바꿉니다. 연속시간 모형은 재조정을 이상화하지만 실제 헤지는 불연속입니다.

1기간 Call 복제

섹션 제목: “1기간 Call 복제”

S0 = $100, 다음 기간 Su = $120 또는 Sd = $80, 행사가 $100인 유럽식 Call의 Cu = $20, Cd = $0, R = 1.02라고 합시다.

Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5주

B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157

복제비용 = 0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843

상태 주식 부분 현금 상환 포트폴리오 지급 Call 지급
상승 $60 -$40 $20 $20
하락 $40 -$40 $0 $0

q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55

[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843

승수100이면 모델 계약가치는 $1,078.43, 초기 주식 부분은 50주, 모델 차입은 $3,921.57입니다. 스프레드, 실제 금융비용, 증거금, 수수료, 배당, 정수 제약 전 이론값입니다.

시장 Call Ask가 $11.20이어도 마찰 없는 복제와의 $0.4157 차이는 자동 차익거래가 아닙니다. 옵션과 헤지를 관련 가격·수량에 체결하고 금융비용, 차입, 행사 방식, 배당, 청산비용을 포함해야 합니다.

복제의 한계와 위험

섹션 제목: “복제의 한계와 위험”
  • 상태모형: 실제 주가는 가정한 가지 밖이나 사이에 도달할 수 있습니다.
  • 갭: 재조정 전에 가격이 움직일 수 있습니다.
  • 불연속 헤지: 현실에서는 연속 조정할 수 없습니다.
  • 거래비용: 반복 거래, 스프레드, 비용, 시장충격이 이론가치를 소진합니다.
  • 금융비용: 실제 차입·대여 금리는 모델과 다릅니다.
  • 배당·주식차입: 분배와 가용성이 보유 경제성을 바꿉니다.
  • 조기 행사: 미국식은 중간 노드에서 행사 판단이 필요합니다.
  • 표면 위험: 현실 행사가·만기는 하나의 고정 IV를 따르지 않습니다.
  • 유동성: 필요한 시점과 수량에 옵션·헤지를 거래하지 못할 수 있습니다.
  • 계약: 승수, 인도물, 현금결제, 조정이 모델 지급과 맞아야 합니다.
  • 차익거래 혼동: 이론 가격 차이는 무위험 체결 가능 거래가 아닙니다.

흔한 오해

섹션 제목: “흔한 오해”
  • “평균 지급만 맞추면 복제다.” 모든 모델 상태를 맞춰야 합니다.
  • “Delta는 만기까지 0.5다.” 다기간·현실 시장에서는 바뀝니다.
  • “위험중립 확률은 실제 확률이다.” 모델 가격 가중치입니다.
  • “복제는 모든 위험을 없앤다.” 모델, 갭, 체결, 금융, 계약 위험이 남습니다.
  • “이론 차이는 공짜 차익거래다.” 모든 다리, 수량, 시점, 금융, 비용이 체결 가능해야 합니다.
  • “차입은 수학 기호다.” 자금과 증거금 제약이 있는 현금 포지션입니다.
  • “유럽식과 미국식 복제는 같다.” 조기 행사가 문제를 바꿉니다.
  • “1기간 복제면 연속 헤지도 정확하다.” 현실 재조정은 불연속이고 경로 의존적입니다.

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