Перейти к содержанию
Financial Context Wiki

Реплицирующие опционы портфели: выплаты по состояниям и безарбитражная стоимость

Создайте копию однопериодного опциона на основе акций и займов, проверьте каждое терминальное состояние и поймите, почему реальные динамические хеджирования отклоняются от модели.

Обновлено

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Реплицирующий портфель сочетает торгуемые инструменты так, чтобы его выплата совпадала с выплатой опциона в каждом состоянии модели. В однопериодной биномиальной модели европейский опцион можно точно воспроизвести акцией и безрисковым займом или вложением. При одинаковых выплатах закон единой цены требует одинаковой стоимости сегодня; иначе более дешевую выплату можно купить, а более дорогую продать.

Это условный результат ценообразования. Точная репликация зависит от состояний модели, торговых возможностей, финансирования, распределения, условий контракта и предположений о беспрепятственном исполнении. На реальном рынке со скачками, спредами, дискретным хеджированием, лимитами заимствований и ранним исполнением опционов его держателем (исполнением) хеджирование обычно является приблизительным.

Рассчитывайте выплаты по состояниям, а не заучивайте формулу

Пусть текущая цена акции равна S0, а в следующую дату она составит Su или Sd, причем Su > Sd. Опцион выплачивает Cu или Cd, а R — валовой безрисковый фактор роста. Предполагается, что акция не дает промежуточных денежных выплат; иначе этот поток нужно учесть последовательно. Портфель из Δ акций и текущей денежной позиции B0 имеет конечную стоимость:

Δ × Su + B0 × R = Cu

Δ × Sd + B0 × R = Cd

Вычитание уравнений дает:

Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)

Тогда:

B0 = (Cu - Δ × Su) / R

option value today = Δ × S0 + B0

Отрицательное значение B0 означает заимствование. Расчет должен проверить оба состояния терминала. Сопоставление только ожидаемого выигрыша не является репликацией.

До оценки опциона нужно проверить, что сам рынок акции и денежных средств удовлетворяет условию:

Sd < R × S0 < Su

Это равносильно требованию 0 < q < 1 для приведенного ниже риск-нейтрального веса. Если условие нарушено, модель уже допускает арбитраж между акцией и денежными средствами. Если оно выполнено, цену репликации можно проверить по формуле:

q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)

option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R

Этот q — это ценовой вес, подразумеваемый отсутствием арбитража в модели, а не обязательно прогноз реальной вероятности движения вверх.

В многопериодном дереве портфель повторно решается в каждом узле. Самофинансируемое хеджирование меняет запасы и денежные запасы, используя только стоимость, уже включенную в стратегию, без необъяснимых внешних депозитов или снятий средств. Модели опционов с непрерывным временем идеализируют эту ребалансировку; настоящие живые изгороди дискретны.

Репликация колл-опциона за один период

Предположим:

  • S0 = $100;
  • цена акции в следующем периоде равна Su = $120 или Sd = $80;
  • Европейский колл-опцион (call option — право купить базовый актив) имеет цена исполнения (strike) 100 $, поэтому Cu = $20 и Cd = $0;
  • валовой безрисковый коэффициент за период равен R = 1.02.

Наличие акций:

Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 share

Текущая денежная позиция:

B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157

Стоимость реплики:

0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843

Проверьте каждое состояние:

Состояние Компонент акции Погашение займа Выплата портфеля Выплата колла
Вверх 60 долларов -40 $ 20 долларов 20 долларов
Вниз 40 долларов -40 $ 0 $ 0 $

Перекрестная проверка, нейтральная к риску:

q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55

[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843

Для оценки масштаба: если требование использует множитель 100 акций, его модельная стоимость равна $1,078.43 за контракт; начальная позиция составляет 50 акций и сочетается с модельным займом $3,921.57. Стандартные опционы на акции США обычно представляют 100 акций, но корпоративные действия могут изменить поставляемый актив. Это теоретические величины до учета спредов, финансирования, маржи, комиссий, выплат и ограничений на целые акции.

Если рыночный колл предлагается по цене $11.20, разрыв $0.4157 от точной копии не является автоматически исполнимым арбитражем. И опцион, и каждая часть хеджа должны торговаться по соответствующей стороне котировки и в нужном объеме; нужно также учесть финансирование, заем акций, стиль исполнения, выплаты, маржу и расходы на закрытие.

Ограничения и риски репликации

  • Риск модели состояния: фактические запасы могут закончиться за пределами или между предполагаемыми ветвями.
  • Риск скачка: цены могут измениться до того, как хедж будет перебалансирован.
  • Дискретное хеджирование риска: непрерывная корректировка на практике невозможна.
  • Транзакционные издержки: повторные торги, спреды, комиссии и влияние на рынок поглощают теоретическую ценность.
  • Риск финансирования: ставки по займам и кредитам трейдера отличаются от модельной ставки.
  • Дивидендный и заемный риск: распределение и наличие акций меняют экономику.
  • Риск раннего исполнения опциона его держателем (исполнение): американский опцион требует исполнения опциона его держателем (исполнение) решений в промежуточных узлах.
  • Поверхностный риск волатильности: реальные опционы с разными сроками исполнения и сроками погашения не подчиняются одному фиксированному входному значению волатильности.
  • Риск ликвидности: опцион или хедж может не торговаться в необходимом размере и в нужное время.
  • Контрактный риск: множитель, ожидаемый результат, денежный расчет и корректировки должны соответствовать смоделированному вознаграждению.
  • Путаница в модели и арбитраже: теоретическая разница в ценах не является безрисковой исполняемой сделкой.

Распространённые заблуждения

  • «Репликация соответствует среднему выигрышу». Она должна соответствовать каждому смоделированному состоянию.
  • «Дельта остается 0,5 до истечения срока действия». На многопериодном или реальном рынке дельта изменяется и требует ребалансировки.
  • «Вероятность, нейтральная к риску, является истинной вероятностью». Это ценовой вес в соответствии с предположениями модели.
  • «Точная копия устраняет все риски». Риски модели, прыжка, исполнения, финансирования и контракта остаются.
  • «Теоретическая разница заключается в свободном арбитраже». Все этапы, размеры, сроки, финансирование и затраты должны быть осуществимыми.
  • «Заимствование – это всего лишь обозначение». Это экономическая денежная позиция с ограничениями по финансированию и марже.
  • «Европейские и американские опционы воспроизводятся одинаково». Раннее исполнение опциона его держателем (exercise) меняет проблему оценки.
  • «Репликация за один период доказывает, что непрерывное хеджирование работает точно». Реальная ребалансировка дискретна и зависит от пути.

Похожие темы

Авторитетные источники

Навигация

Поиск по вики...