Valutazione binomiale delle opzioni: replica, carry, esercizio anticipato e convergenza

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Un modello binomiale valuta un’opzione su una griglia di stati discreti; non prevede che il sottostante compia letteralmente solo due movimenti. A ogni nodo applica un fattore rialzista u o ribassista d, valuta i flussi contrattuali terminali e procede a ritroso fino a oggi. In un mercato completo con un solo fattore di rischio, lo stesso valore del nodo può essere verificato con un portafoglio locale di azioni e cassa che lo replica.

Per un passo di durata Delta t, separa il fattore di crescita del finanziamento B = exp(r Delta t) dal fattore di crescita del carry del sottostante G = exp((r - q) Delta t). Con rendimento proporzionale continuo q, il peso di valutazione senza arbitraggio è

p = (G - d) / (u - d), subordinato a d < G < u.

La continuazione europea è V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B. In un nodo in cui il titolare può esercitare, il valore americano o bermudiano è V = max(H,C), dove H è il valore di esercizio immediato e C il valore di continuazione. Il modello produce un valore per unità del sottostante; moltiplicatore, quantità, regolamento ufficiale, prezzi eseguibili, commissioni, margine e credito restano separati.

Procedura

1. Fissa diritto e calendario. Registra sottostante e serie esatti, call o put, strike, istante di valutazione, scadenza e conteggio giorni, date e stile di esercizio, regolamento ufficiale, moltiplicatore, consegnabile, valuta, dividendi, prestito titoli, rettifiche e unità dell’output.
2. Scegli e documenta la griglia. Definisci N, Delta t = T / N e una parametrizzazione. La comune scelta CRR è u = exp(sigma sqrt(Delta t)) e d = 1 / u; alberi diversi possono far coincidere momenti diversi e convergere diversamente.
3. Separa carry e sconto. Costruisci B = exp(r Delta t) con il tasso zero coerente col modello e G = exp((r - q) Delta t) con il carry continuo; poi calcola p = (G - d) / (u - d). Un dividendo monetario noto richiede un trattamento esplicito del nodo ex dividendo e può impedire la semplice ricombinazione.
4. Costruisci stati e diritti terminali. In un albero ricombinante a fattori costanti, S(i,j) = S0 u^j d^(i-j). Applica alla variabile ufficiale la regola contrattuale per call, put, contanti, consegna fisica o rettificata, barriera, media o altro payoff terminale; la dipendenza dal percorso richiede stato aggiuntivo.
5. Procedi a ritroso e verifica l’esercizio. Sconta il valore neutrale al rischio dei figli a ogni nodo. Per diritti europei usa la continuazione; per americani confronta H e C a ogni data consentita; per bermudiani solo alle date contrattuali e rispettando avviso e regolamento.
6. Valida replica e calcolo. In ogni nodo a un passo calcola Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d) e la posizione di cassa b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]. Verifica payoff per stato, limiti, parità, raddoppio dei passi, oscillazione pari-dispari, altri alberi, codice indipendente e frontiera di esercizio.
7. Trasferisci l’output del modello al conto. Calibra curve, dividendi, prestito e superficie strike-scadenza; converti il valore unitario con moltiplicatore e quantità effettivi; confronta bid e ask eseguibili; sottoponi a stress copertura discreta, gap, costi, liquidità, margine, assegnazione, regolamento, imposte e versione del modello.

Esempi svolti

• Replica a un periodo. Siano S0 = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05 e una call europea con K = $100. Allora p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625; i payoff sono $20/$0; e C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762. La replica dà Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50 e b = -$38.095238. Il portafoglio paga $60 - $40 = $20 nello stato rialzista e $40 - $40 = $0 in quello ribassista; il costo iniziale è $50 - $38.095238 = $11.904762.
• Put americana ed esercizio anticipato. Usa un albero a due passi con S0 = $100, K = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05; quindi p = 0.625. I payoff terminali della put per $144/$96/$64 sono $0/$4/$36. Al primo nodo rialzista la continuazione è [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571, superiore all’intrinseco $0. Al nodo ribassista è [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095, inferiore all’esercizio immediato di $20, quindi si esercita. Il valore americano è $7.993197, quello europeo $6.292517 e il premio discreto per esercizio anticipato $1.700680.
• Carry e convergenza non monotona. Siano S0 = $100, K = $100, T = 1, r = 5% a capitalizzazione continua, rendimento continuo q = 2% e sigma = 20% annualizzata. Con CRR la call europea vale $11.073541 a un passo, $8.342293 a due, $9.855621 a tre, $8.760327 a quattro e, con 64 passi, $9.196691, avvicinandosi al valore coerente Black-Scholes-Merton di $9.227006. Più passi migliorano il limite del modello, ma non devono muoversi monotonamente e non correggono flussi errati.
• Valore di modello e importi eseguibili. Riutilizza il valore per azione $11.904762, ma ipotizza un mercato eseguibile $11.60 bid / $12.20 ask. Comprare un contratto standard con M = 100 e Q = 1 costa $12.20 x 100 = $1,220, rispetto all’importo di modello $11.904762 x 100 = $1,190.4762, con differenza di $29.5238 prima delle commissioni. Vendere subito al bid restituisce $11.60 x 100 = $1,160, per una perdita andata-ritorno di $60. Delta = 0.50 equivale a 50 azioni con tale moltiplicatore, ma ribilanciamento discreto, gap, prestito ed esecuzione impediscono di garantire la replica.

Controlli di modello e ciclo di vita

• Abbina sottostante, radice, call o put, strike, scadenza, stile di esercizio, regolamento, moltiplicatore, valuta e consegnabile esatti.
• Fissa orario di valutazione, calendario, fuso, frazione d’anno, passi, date dei nodi e trattamento dei giorni lavorativi.
• Dichiara la parametrizzazione e se momenti, carry, skew o altri obiettivi coincidono col modello previsto.
• Mantieni B per lo sconto separato da G per il carry quando contano dividendi, tassi esteri, convenience yield o prestito.
• Richiedi d < G < u; se p è fuori da [0,1], fallisce l’impostazione senza arbitraggio, non emerge una probabilità previsionale.
• Separa rendimento continuo q da distribuzioni note discrete, speciali, incerte o dipendenti dal percorso.
• Verifica il payoff terminale rispetto a regolamento ufficiale, consegna monetaria o fisica, contratti rettificati ed eventi societari.
• Aggiungi stato sufficiente per barriere, medie, lookback, più attività, volatilità o tassi stocastici, credito e altre dipendenze dal percorso.
• Applica l’esercizio anticipato solo al titolare del diritto contrattuale e in date valide prima dei termini di avviso.
• Separa opportunità di esercizio americane, bermudiane ed europee dal regolamento monetario, fisico o in futures.
• Registra ogni nodo in cui H supera C e testa la sensibilità della frontiera a dividendi, tassi, prestito e parametri numerici.
• Verifica replica nodale e payoff per stato quando le ipotesi implicano completezza; non presumere copertura continua gratuita nella pratica.
• Controlla limiti di non arbitraggio, parità, monotonicità, convessità e casi limite prima di fidarti di un prezzo.
• Confronta numeri di passi, sequenze pari e dispari, raddoppio, altre parametrizzazioni e un’implementazione indipendente.
• Non trattare oscillazione, decimali stabili o accordo fra percorsi di codice correlati come prova di accuratezza.
• Calibra l’intera superficie e le curve pertinenti; volatilità storica o quotazione ATM non sono universali.
• Separa valore di modello, midpoint teorico, mark di borsa, regolamento ufficiale, bid eseguibile, ask eseguibile e prezzo di liquidazione.
• Converti output unitari con moltiplicatore e quantità reali; contratti rettificati o non standard possono non usare 100.
• Sottoponi a stress bid-ask, esecuzioni parziali, tempistica dell’hedge discreto, salti, sospensioni, liquidità, finanziamento, prestito, margine, assegnazione e liquidazione del broker.
• Conserva input, fonte dati, versione di dividendi ed eventi societari, codice e solver, prove di convergenza, approvazioni, spese, imposte e riconciliazione finale.

Idee errate comuni

• “La probabilità neutrale al rischio prevede la prossima mossa.” p è un peso di valutazione coerente con attività negoziabili e assenza di arbitraggio, non una previsione fisica.
• “Il fattore privo di rischio entra sempre in entrambe le formule.” Lo sconto usa B e il peso del sottostante usa il fattore di carry G; coincidono solo nel caso semplificato senza rendimento.
• “Più passi garantiscono il prezzo corretto.” Il raffinamento affronta solo la discretizzazione del modello; può oscillare e non corregge dividendi, volatilità, regolamento o esercizio errati.
• “Il valore americano è quello europeo più un premio fisso.” Il valore dell’esercizio anticipato dipende da stato, data, tassi, dividendi, prestito e modello e può essere nullo.
• “La replica rende privo di rischio il prezzo a schermo.” La prova assume completezza e assenza di frizioni; restano spread eseguibili, hedge discreti, gap, finanziamento, margine, imposte e regolamento.

Argomenti correlati

• Opzioni americane ed europee
• Modello Black-Scholes
• Volatilità implicita

Fonti autorevoli

• Option Pricing: A Simplified Approach - Elsevier; fonda replica discreta CRR e valutazione neutrale al rischio sotto le sue ipotesi, non input correnti o prezzi eseguibili.
• Two-State Option Pricing - Wiley; sviluppa la valutazione a due stati, non afferma che i prezzi reali abbiano solo due esiti né che ogni mercato incompleto abbia prezzo unico.
• Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence - Taylor & Francis; sostiene oscillazione, parametrizzazione e convergenza nei modelli studiati, non limiti d’errore universali.
• Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models - Elsevier; sostiene convergenza della put americana e limiti di accelerazione negli alberi analizzati, non tutti i prodotti o prezzi.
• American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods - Oxford University Press; sostiene limiti e confronti sotto ipotesi specifiche, non regole di esercizio del broker né accuratezza garantita.
• Characteristics and Risks of Standardized Options - The Options Clearing Corporation; tratta diritti, esercizio, assegnazione, regolamento, rettifiche e rischi, non calibrazione binomiale o raccomandazioni.
• Industry Services - The Options Clearing Corporation; documenta una propria variante CRR per determinati servizi delta, non l’implementazione di questo articolo né un prezzo universale.
• Options Calculator - Cboe Global Markets; offre strumenti educativi attuali per prezzi teorici e greche, non quotazioni eseguibili, validazione indipendente o garanzia delle ipotesi contrattuali.