Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.
Краткий ответ
Ценообразование опционов Монте-Карло оценивает стоимость модели путем моделирования множества траекторий базовой цены в соответствии с показателем ценообразования, расчета выигрыша по контракту для каждого пути, дисконтирования выигрышей и их усреднения. Это особенно полезно, когда значение зависит от многих активов или от самого пути, как в случае с азиатскими, барьерными и ретроспективными вариантами.
Результат зависит от модели, калиброванных входных данных, реализации выплат, временной сетки и случайной выборки. Это не прогноз наиболее вероятного будущего пути и не гарантированная цена исполнения. Полный результат сообщает как об оценке, так и об ошибке выборки.
Как моделирование становится ценой
Для дисконтированных смоделированных выплат (Y_i) простая оценка выглядит следующим образом:
\hat V_0 = (1/N) \sum_{i=1}^N Y_i
При геометрическом броуновском движении с постоянным параметром и дивидендной доходностью (q) цену терминала можно выбрать напрямую:
S_T = S_0 exp[(r - q - sigma^2/2)T + sigma sqrt(T) Z]
Европейский выигрыш, зависящий только от (S_T), не нуждается в промежуточном пути. Среднеазиатский, постоянно контролируемый барьер, или ретроспективная выгода, заключается в следующем: делит время на этапы, развивает состояние, записывает необходимые наблюдения, применяет точный контрактный календарь и выплаты, а затем делает скидку.
Если выборочное стандартное отклонение дисконтированных выплат равно (s), расчетная стандартная ошибка равна (SE=s/sqrt N). Обычный интервал выборки составляет приблизительно 95 % (hat V_0 +/- 1.96SE). Обычный метод Монте-Карло сходится в порядке (N^(-1/2)), поэтому для уменьшения вдвое стандартной ошибки требуется примерно в четыре раза больше независимых путей.
Одно только форвардное усреднение не решает проблему оптимальной остановки американского опциона. Американская оценка требует останавливающего правила, такого как метод наименьших квадратов Лонгстаффа-Шварца Монте-Карло, или другого обратного метода, такого как дерево или модель конечных разностей.
Результат с полосой ошибок
Предположим, что 100,000 траекторий однолетнего азиатского колл-опциона дают среднюю дисконтированную выплату 6,20 доллара на акцию и выборочное стандартное отклонение 9,49 доллара.
SE = 9.49 / sqrt(100,000) ≈ $0.03
Приблизительный интервал 95 % составляет 6,20 доллара США ± 1,96 × 0,03 доллара США, или около [6,14 доллара США, 6,26 доллара США]. При стандартном множителе 100 оценка составляет 620 долларов США за контракт, а интервал выборки составляет примерно [614 долларов США, 626 долларов США] без учета распределения между ценами покупки и продажи, комиссий и эффектов исполнения.
Увеличение выборки до 400,000 независимых путей с аналогичной дисперсией выигрыша снижает стандартную ошибку примерно до 0,015 доллара, а полуширину 95 % — примерно до 0,029 доллара. Это только улучшает числовую точность и не проверяет модель волатильности, корреляцию, предположения о дивидендах, даты мониторинга или код выплаты.
В качестве проверки реализации оцените стандартный европейский вариант при тех же предположениях. Его результат должен согласовываться с Блэком-Шоулзом в пределах разумной ошибки выборки. Существенное несоответствие указывает на дисконтирование, дрейф, единицы измерения, логику выплаты или обработку случайных чисел.
Контрольный список модели и реализации
- Точно закодируйте юридические выплаты: забастовка, наблюдения, усреднение, барьер, скидка, расчет, мультипликатор и режим корпоративных действий.
- Отделите нейтральное к риску ценообразование от реальных сценариев. Историческая ожидаемая доходность не является автоматически изменением цен.
- Синхронизируйте спот, ставки, дивиденды, поверхность волатильности, корреляции, календари и временную метку оценки.
- Для утверждений, зависящих от пути, выберите достаточно мелкую сетку и проверьте смещение временного шага.
- Количество путей отчета, генератор случайных чисел или начальное число, оценка, стандартное отклонение выигрыша, стандартная ошибка и доверительный интервал.
- Повторите с независимыми выборками. Фиксированное начальное значение способствует воспроизводимости, но не является независимым подтверждением.
- Используйте противоположные или контрольные варианты, стратификацию или квазислучайные последовательности только с проверкой систематической ошибки.
- Проверка простых случаев на соответствие аналитическим ценам, деревьям, безарбитражным границам и ограничивающему поведению.
- рассматривать американское исполнение опциона его держателем (упражнением) отдельно; Простое усреднение терминального выигрыша игнорирует оптимизацию досрочного погашения опциона его держателем (осуществлением).
- Оцените греков подходящими методами. Наивный метод повышения и переоценки может оказаться во власти шума моделирования.
- Отличать ошибку выборки от систематической ошибки дискретизации, ошибки калибровки, ошибок контракта и ошибки модели. Узкий интервал охватывает только ошибку выборки.
- Скачки стресса, стохастическая или локальная волатильность, корреляция, дивиденды и ставки, где это необходимо.
- Преобразование стоимости на акцию с использованием фактического мультипликатора и результата.
- Сравнить с исполняемыми котировками Bid/Ask и их размером; В стоимость модели не включены ограничения ликвидности, проскальзывания, комиссий, маржи и хеджирования.
Распространённые заблуждения
- «Больше путей делают ответ правильным». Они уменьшают шум выборки, но не исправляют неправильные предположения или код.
- «Интервал 95 % охватывает любую неопределенность». Обычно он охватывает неопределенность выборки, зависящую от модели и входных данных.
- «Историческая средняя доходность — это дрейф цен». Безарбитражное ценообразование обычно использует нейтральную к риску меру.
- «Монте-Карло всегда лучше». Формулы, деревья, УЧП или квадратуры могут быть быстрее и точнее для решения более простых задач.
- «Для каждого выигрыша достаточно одного терминального розыгрыша». Контракты, зависящие от пути, требуют промежуточных наблюдений.
- «Американские опционы могут быть оценены путем усреднения выплат по истечении срока действия». Раннее выполнение опционов его держателем (упражнение) создает проблему оптимальной остановки.
- «Одно и то же начальное значение доказывает, что две реализации согласуются». Общие ошибки могут остаться.
- «Оценка модели — это торгуемая котировка». Фактические исполнения зависят от ликвидности и условий контракта.