モンテカルロ法によるオプション評価：経路、誤差、モデルリスク

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

モンテカルロ法によるオプション評価は、価格評価測度の下で多数の原資産価格経路を生成し、各経路の契約ペイオフを計算して割り引き、その平均からモデル価値を推定します。複数資産や、アジアン、バリア、ルックバックのように経路全体へ依存する商品に特に有効です。

結果はモデル、較正入力、ペイオフ実装、時間グリッド、乱数標本を条件とします。将来経路の予測でも約定可能価格の保証でもありません。完全な結果には推定値と標本誤差の両方が必要です。

第 (i) 経路の割引済みペイオフを (Y_i) とすると、

V_hat_0 = (1 / N) sum_(i=1)^N Y_i = e^(-rT) (1 / N) sum_(i=1)^N payoff_i

配当利回り (q) の一定パラメータ幾何ブラウン運動では、

S_T = S_0 exp[(r - q - sigma^2 / 2)T + sigma sqrt(T) Z], where Z ~ N(0, 1)

(S_T) だけに依存する欧州型には中間経路が不要です。平均価格、連続バリア、ルックバックでは期間を分割し、必要な観測値を保存して正確な契約日程でペイオフを計算します。

標本標準偏差が (s) なら標準誤差は (SE=s/sqrt N)、近似 95% 区間は (hat V_0pm1.96SE) です。収束は (N^(-1/2)) なので標準誤差を半分にするには概ね四倍の独立経路が要ります。

単純な前向き平均では米国型の最適停止問題を解けません。Longstaff-Schwartz 最小二乗法などの停止規則、またはツリーや有限差分法が必要です。

100,000 本の一年物アジアン Call 経路から、一株当たり平均 $6.20、標本標準偏差 $9.49 が得られたとします。

SE = 9.49 / sqrt(100,000) ≈ $0.03

近似 95% 区間は $6.20 ± 1.96×$0.03、約 [$6.14, $6.26] です。標準乗数 100 なら一枚 $620、区間は約 [$614, $626] で、Bid/Ask、手数料、執行の影響は含みません。

独立経路を 400,000 本に増やし分散が同程度なら、標準誤差は約 $0.015、95% 半幅は約 $0.029 です。改善するのは数値精度だけで、モデル、相関、配当、観測日、コードの妥当性は証明しません。

同じ仮定で通常の欧州型を評価し、Black-Scholes 値と標本誤差内で一致するか確認します。大きな差は割引、ドリフト、単位、ペイオフ、乱数処理の問題を示します。