Процентные ставки в оценке опционов: кривые, стоимость переноса и Ро

Преобразуйте процентные котировки в коэффициенты дисконтирования, согласованно стройте форварды, корректно масштабируйте Ро и выполняйте полную переоценку сценариев кривой, дивидендов, исполнения и сделок.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Процентные ставки влияют на стоимость опциона через коэффициенты дисконтирования, форвард базового актива, финансирование и сроки денежных потоков при исполнении и расчётах. Единой скалярной ставки нет: для оценки нужна согласованная по валюте и срокам кривая с явно заданными правилами обеспечения или финансирования. Целевая ставка денежно-кредитной политики, однодневный фиксинг, номинальная доходность казначейских облигаций и нулевая ставка — разные объекты.

В контролируемом сравнении европейских опционов на акции повышение ставок обычно увеличивает стоимость колла и уменьшает стоимость пута, если спот, дивиденды, стоимость займа акций, волатильность и все остальные параметры неизменны. Этот знак не является правилом рыночной прибыли или универсальным результатом для американских требований, опционов на цену облигации, доходность или фьючерс, кэпов, флоров либо свопционов. Ро — локальная производная модели, а не прогноз и не полная мера риска кривой.

Контролируемый процесс

Зафиксируйте требование и все даты: базовый актив, колл или пут, страйк, валюту, момент оценки, дату экспирации, даты исполнения и расчётов, американский или европейский стиль, денежные или физические расчёты, мультипликатор и знак позиции.
Определите назначение кривой: дисконтирование, обеспечение, финансирование или заём актива; запишите источник, сторону котировки, время и инструменты. Не заменяйте полную кривую ставкой денежно-кредитной политики или одной доходностью постоянного срока.
Преобразуйте простые, дисконтные, номинальные и непрерывно начисляемые котировки с их базисом расчёта дней в положительные коэффициенты дисконтирования D(0,t). Выполните бутстрэппинг и интерполяцию дат денежных потоков по документированным правилам; отрицательные нулевые ставки могут корректно давать D(0,t)>1.
Согласованно постройте стоимость переноса. При постоянных непрерывных ставках D(0,T)=exp(-r*T), а F=S*exp((r-q)*T); при детерминированных денежных дивидендах используйте FP=S-PV(dividends) и F=FP/D(0,T). Не смешивайте дивиденды, заём акций, иностранную стоимость переноса и корпоративные действия.
Сопоставьте модель со стилем и выплатой. Применяйте европейский паритет или закрытую формулу только к совместимым требованиям; для американских опционов используйте дерево или уравнение в частных производных с возможностью досрочного исполнения, а для опционов на облигации, доходность, фьючерсы или ставки — модели конкретного продукта.
Укажите единицы риска: исходная Rho_raw=partial V/partial r, Rho_100bp=Rho_raw*0.01 и Rho_1bp=Rho_raw*0.0001 на акцию, контракт или позицию с учётом знака. Перестраивайте кривую и выполняйте полную переоценку при параллельных сдвигах, увеличении и уменьшении наклона и ключевых сдвигах отдельных сроков.
Отделяйте модельную атрибуцию от исполнимых цен спроса и предложения, фактических сделок, комиссий, финансирования, займа акций, маржи, обеспечения и налогов. Сверяйте фактические даты денежных потоков, исполнение или назначение, расчёты и P/L с сохранённой версией кривой.

Расчётные примеры

Точный европейский паритет: при S=100, K=100, T=2, q=0 и непрерывной ставке r=2% коэффициент дисконтирования равен 0.960789439152, дисконтированный страйк — 96.078943915232, а C-P=3.921056084768. При r=5% значения составляют 0.904837418036, 90.483741803596 и 9.516258196404; разность цен колла и пута меняется на 5.595202111636 на акцию. Это контролируемое тождество относительной стоимости, а не прогноз прибыли.
Начисление и базис дней: простая котировка на 182 дня с базисом ACT/360 и ставкой 5.25% даёт D=1/(1+0.0525*182/360)=0.974144579291. При T=182/365=0.498630136986 эквивалентная непрерывная нулевая ставка равна 5.2535026897%. Если непрерывная дивидендная доходность q=1%, а S=100, согласованный форвард равен 102.143576091945; непосредственная подстановка 5,25% при другой конвенции меняет результат.
Единицы Ро и полная переоценка: европейский опцион с S=K=100, T=2, q=1%, sigma=25% и r=2% имеет цену колла 14.609621487800, цену пута 12.668698072357, исходную Ро колла 86.885943346376 и пута -105.271944484089. На 100 базисных пунктов это 0.868859433464 и -1.052719444841. Полная переоценка при r=3% даёт колл 15.491134163794 и пут 11.647720191543, изменения +0.881512675994 и -1.020977880814; ошибки линейной оценки по прежней Ро равны +0.012653242530 и +0.031741564027 на акцию.
Нижняя граница американского исполнения: при S=80, K=100, T=1, r=5%, q=0 и sigma=20% европейский пут стоит 16.982362022884, что ниже немедленной внутренней стоимости 20. Американский пут должен стоить не менее 20; разрыв 3.017637977116 показывает, почему европейская формула не может оценить это право исполнения. Отдельно при r=-1% корректен коэффициент D=1.010050167084; отрицательную ставку нельзя обрезать до нуля.

Риски и проверка

Валютный риск: кривая в неверной валюте дисконтирует другое денежное требование.
Риск назначения: кривые обеспечения, финансирования, дисконтирования и займа актива не взаимозаменяемы.
Риск типа котировки: номинальная доходность, нулевая и форвардная ставки и цель политики — разные объекты.
Риск начисления: простые, дисконтные, номинальные и непрерывные ставки требуют преобразования.
Риск базиса дней: ACT/360, ACT/365F и 30/360 дают разные доли года и стоимости.
Риск дат: моменты оценки, экспирации, исполнения, поставки и денежных расчётов различаются.
Риск времени данных: устаревшие или несинхронные параметры кривой и опциона создают ложную Ро.
Риск бутстрэппинга: инструменты, интерполяция и экстраполяция влияют на узловые коэффициенты дисконтирования.
Риск шока: один параллельный сдвиг не отражает изменение наклона и локальные движения.
Риск отрицательных ставок: обрезание ставки или коэффициента дисконтирования искажает корректную экономику.
Дивидендный риск: ошибки суммы, экс-даты и даты выплаты сдвигают форвард.
Риск двойного учёта: нельзя одновременно учитывать непрерывную доходность и те же дискретные дивиденды.
Риск займа: ставка возврата обеспечения и дорогой заём акций меняют перенос и стимулы к исполнению.
Риск координат: денежность по споту и форварду после шока кривой может измениться по-разному.
Риск стиля: европейские и американские требования требуют разного паритета и учёта исполнения.
Риск жизненного цикла: исполнение держателем и назначение продавцу создают разные действия и потоки.
Риск единиц: можно перепутать исходную Ро, Ро на 100 или 1 базисный пункт, акцию и контракт.
Риск греков: локальная Ро не заменяет перестроение кривой и полную переоценку.
Риск совместного движения: спот, IV, скос, дивиденды и финансирование часто движутся вместе со ставками.
Риск исполнения сделки: спред, комиссии, ликвидность, маржа и налоги отделяют модельное изменение от P/L.

Распространённые заблуждения

«Ставка денежно-кредитной политики подходит для любого срока.» Для каждой даты денежного потока нужен согласованный коэффициент дисконтирования.
«Рост ставок делает любой колл или позицию прибыльной.» Тип требования, прочие параметры и права исполнения могут преобладать.
«Исходная Ро, умноженная на 100, даёт изменение на 100 базисных пунктов.» Десятичный шок в 100 базисных пунктов равен 0.01, а единицы должны совпадать.
«Ставки и дивиденды взаимозаменяемы.» Они возникают из разных денежных потоков и не должны учитываться дважды.
«Знаки Ро опционов на акции применимы ко всем процентным продуктам.» Выплаты по опционам на облигации, доходность, фьючерсы и ставки имеют разные направления.

Связанные темы

Авторитетные источники

Federal Reserve H.15 — наблюдаемые отдельные ставки, а не универсальная кривая дисконтирования опционов.
Treasury Yield Curve Methodology — построение номинальной кривой и индикативные данные, а не исполнимые нулевые ставки или ставки финансирования.
New York Fed SOFR Averages — правила ретроспективного начисления однодневной ставки, а не полный мандат форвардной кривой.
OIC Rho — учебная локальная чувствительность и типичное масштабирование, а не полный риск кривой или P/L.
OCC Characteristics and Risks — риски контракта и жизненного цикла, а не численное построение кривой.
Cboe Theoretical Options Methodology — опубликованные правила стиля, кривой и дивидендов, а не универсальная практика торгового подразделения или гарантия сделки.
Black and Scholes — основа европейской модели с постоянной ставкой, а не американское исполнение или реальные сделки.
Merton, Theory of Rational Option Pricing — теория переноса, дивидендов и отсутствия арбитража при допущениях, а не действующие правила контрактов.