Модель Блэка-Шоулза-Мертона: контракт, исходные данные, подразумеваемая волатильность и греки

Применение модели Блэка-Шоулза-Мертона после согласования требования по опциону, временной шкалы оценки, дисконтирования, дивидендов, котировки волатильности, условий расчета и единиц греков.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Модель Блэка-Шоулза-Мертона представляет собой безарбитражную систему, а не юридически обязательную котировку или прогноз базового актива. Ее известная замкнутая формула оценивает простой европейский опцион при заданных предпосылках о диффузии, финансировании, дивидендах, торговле и полноте рынка. До применения модели определите фактическую серию, право исполнения, поставляемый актив, множитель, официальную расчетную стоимость и валюту: американский опцион на акцию с физической поставкой и европейский индексный опцион с денежным расчетом являются разными требованиями, даже если на экране совпадают страйк и экспирация.

Для спота S₀, страйка K, срока в годах T, непрерывно начисляемой нулевой ставки r, непрерывной пропорциональной дивидендной доходности q и годовой волатильности σ формулы европейских колла и пута равны C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂) и P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁), где d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T), d₂ = d₁ − σ√T, а N(x) представляет стандартную нормальную функцию распределения. При согласованных исходных данных европейский паритет колл-пут равен C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT).

Участники рынка также обращают модель: подразумеваемая волатильность есть такое σ, при котором выбранная модель воспроизводит выбранную цену опциона. Поэтому она зависит от контракта, времени, исходной цены базового актива, кривой, дивидендов, стороны котировки, численного метода и модели. Цена, подразумеваемая волатильность и грек являются модельными результатами со своими соглашениями и единицами; сами по себе они не являются исполнимой сделкой, физической вероятностью или гарантией работы хеджа.

Семь шагов анализа контракта, данных, оценки и контроля

Классифицируйте требование до выбора формулы. Зафиксируйте требование к эмитенту или клирингу, базовый актив, тип опциона, страйк, экспирацию, последний момент торговли, стиль исполнения, официальный процесс расчета, денежный расчет или физическую поставку, множитель, поставляемый актив, валюту и корректировки. Замкнутая формула выше предназначена для европейской ванильной выплаты; американское досрочное исполнение, скорректированная поставка, барьеры и иные зависящие от пути права требуют модели, представляющей эти условия.
Зафиксируйте часы оценки и единицы. Установите момент оценки t₀, момент экспирации или расчета, часовой пояс, календарь рабочих дней и долю года T; отличайте последний момент торговли от срока подачи инструкции на исполнение и определения официальной расчетной стоимости. Укажите, выражены ли премия и греки на единицу базового актива, котировочный пункт, контракт или всю позицию.
Постройте синхронизированные рыночные исходные данные. Используйте одновременные спотовые или форвардные данные, страйк, согласованный со сроком коэффициент дисконтирования D(0,T), суммы и даты дивидендов либо обоснованную непрерывную доходность, предпосылки о займе акций и финансировании, а также bid, ask и размер по опциону. Публикуемая ставка Treasury CMT является парной доходностью, а не автоматически непрерывно начисляемой нулевой ставкой r; до использования постройте согласованную дисконтную кривую путем бутстрэппинга или иным способом.
Проверьте границы и согласованный паритет. Для европейского случая с непрерывной доходностью проверьте max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT) и max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT). Сравнивайте только опционы с одинаковыми исполнением, страйком, сроком, поставкой и расчетом. При известных детерминированных денежных дивидендах замените приближение доходностью их дисконтированными потоками и используйте соответствующий мост паритета.
Явно выберите и запустите модель. Модель Блэка-Шоулза-Мертона предполагает непрерывную диффузию, постоянные волатильность и ставки, непрерывную торговлю без трений, отсутствие скачков и достаточные возможности заимствования, кредитования, короткой продажи и репликации. Биномиальное дерево или другой численный метод может представить американское исполнение и дискретные события; модели стохастической или локальной волатильности либо скачков учитывают иные риски, но добавляют параметры и решения по калибровке.
Осторожно обращайте цены в подразумеваемую волатильность. Отклоняйте или исследуйте цены за пределами безарбитражного диапазона модели; отдельно обращайте bid, среднюю цену и ask с документированным методом поиска корня, допуском и максимальной волатильностью. Конечная европейская IV внутри диапазона обычно уникальна, поскольку стоимость опциона растет с σ, но граничная цена может означать ноль, бесконечность либо отсутствие конечного решения. Проверяйте поверхности страйк-экспирация на старые котировки, пересеченные исходные данные и календарный или butterfly-арбитраж, а не считайте одну ATM IV универсальной.
Отражайте локальный риск и сверяйте его с рынком. Рассчитывайте дельту, гамму, вегу, тету и ро с указанием знака, знаменателя и временного соглашения; сохраняйте точный рыночный снимок и версию модели. Стресс-тестируйте скачки, пересмотры дивидендов, движения скоса и срочной структуры, заем, дискретное хеджирование, транзакционные издержки и ликвидность. Отдельно сверяйте теоретическую стоимость, исполнимый bid или ask, исполнения, официальный расчет и реализованные деньги, а затем независимо воспроизводите существенные расчеты.

Примеры расчетов

Оценка замкнутой формулой и паритет. Пусть S₀ = $100, K = $100, T = 1, r = 5.00%, q = 2.00% и σ = 20.00%. Тогда d₁ = 0.250000, d₂ = 0.050000, N(d₁) = 0.598706326 и N(d₂) = 0.519938806. Колл равен C = $9.227006, а пут P = $6.330081. Разность C − P = $2.896925 согласуется с $100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925; это модельные значения на единицу до множителя и издержек.
Для греков нужны единицы. При тех же исходных данных дельта колла равна 0.586851, дельта пута −0.393348, а общая гамма 0.018951 delta per $1 underlying move. Вега равна 37.901158 per 1.00 volatility, то есть $0.379012 per 1 volatility point. Тета колла равна −$5.089319 per year, или −$0.013943 per calendar day при простом соглашении отображения ÷ 365; ро колла равна 49.458109 per 1.00 decimal rate, или $0.494581 per 100 bp. Эти локальные чувствительности первого или второго порядка меняются при движении исходных данных и должны умножаться на множитель контракта и размер позиции.
От рыночной цены к диапазону IV. Сохраним S₀ = $100, K = $100, T = 1, r = 5.00% и q = 2.00%. Рыночная цена колла $11.123762 обращается в σ = 25.00%, при d₁ = 0.245000 и d₂ = −0.005000. Для сравнения модельные значения при 20.00% и 30.00% равны $9.227006 и $13.020281. Если исполнимая котировка составляет $10.90 bid / $11.35 ask, согласованное обращение дает 24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV; публикация одной средней IV скрывает этот исполнимый диапазон.
Известный дискретный дивиденд и паритет. Пусть S₀ = $100, K = $95, T = 0.5, непрерывно начисляемая r = 4.00%, а известный денежный дивиденд $2 выплачивается в t = 0.25. Его приведенная стоимость равна PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100, а PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874. Согласованный европейский паритет равен C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026; если C = $8.20, то P = $3.298974. Замена этого датированного потока недокументированной непрерывной q или прямое применение равенства к американским опционам меняет требование.

Риски и процедуры проверки

Перед применением модели проверяйте точную серию, юридическое требование и регулирующую спецификацию продукта.
Подтверждайте американские, европейские или иные права исполнения; название и тип базового актива не дают окончательного ответа.
Различайте денежный расчет, физическую поставку и скорректированную корзину, включая множитель и валюту.
Фиксируйте официальный источник расчета, время определения, округление, исправления и правила сбоев.
Согласовывайте наблюдения спота, опциона, ставки, дивиденда и займа по одному обоснованному времени.
При расчете T различайте последний момент торговли, экспирацию, срок подачи инструкции на исполнение и дату расчета.
Применяйте согласованные календари, правила подсчета дней, годового пересчета и непрерывного или дискретного начисления.
Не подставляйте механически парную доходность Treasury вместо требуемой нулевой ставки или коэффициента дисконтирования.
Моделируйте известные суммы и даты дивидендов; непрерывная q может скрыть риск досрочного исполнения и события.
Учитывайте дефицит займа акций, финансирование, обеспечение и ограничения короткой продажи, когда от них зависит репликация.
Проверяйте европейские границы и паритет только по действительно согласованным требованиям и синхронизированным исполнимым данным.
Считайте старые, пересеченные, заблокированные, односторонние или недостаточные по размеру котировки признаками плохого качества данных.
Публикуйте bid и ask IV при существенном спреде; средняя цена не является исполнимой сделкой.
Выявляйте сбой поиска корня, граничные решения, чувствительность допуска и произвольные пределы волатильности.
Проверяйте интерполяцию и экстраполяцию поверхности на календарный, вертикальный и butterfly-арбитраж.
Стресс-тестируйте скачки, отчетность, распределения, приостановку торговли и гэпы, нарушающие предпосылку непрерывной диффузии.
Стресс-тестируйте стохастическую волатильность, динамику скоса и корреляцию спота, волатильности, ставок и дивидендов.
Оценивайте дискретную ребалансировку, задержку, влияние на рынок, комиссии и невозможность непрерывной торговли.
Указывайте знак, масштаб и временное соглашение каждого грека и не экстраполируйте локальную производную слишком далеко.
Разделяйте модельную стоимость, исполнимую цену, бухгалтерский или налоговый показатель, официальный расчет и реализованный P&L.

Распространенные заблуждения

«Блэк-Шоулз дает юридически правильную или исполнимую цену». Правила контракта определяют требование, а рынок определяет доступные сделки; модель дает условный ориентир.
«N(d₂) является реальной вероятностью экспирации в деньгах». Это модельная риск-нейтральная величина при заданных нумерайре и предпосылках, а не физический прогноз.
«Подразумеваемая волатильность наблюдается непосредственно и предсказывает реализованную». Она выводится из цены через выбранную модель и может включать премии за риск, спрос, предложение и ошибку данных.
«Одна волатильность и один набор греков подходят каждому страйку и сроку». На рынках существуют поверхности, а локальные чувствительности меняются со состоянием, временем и моделью.
«Непрерывное дельта-хеджирование устраняет риск опциона». Остаются скачки, дискретная торговля, ликвидность, издержки, досрочное исполнение, ошибка дивидендов и неверная спецификация модели.

Связанные темы

Авторитетные источники

The Pricing of Options and Corporate Liabilities - исходная непрерывная модель Блэка-Шоулза для оценки опционов и корпоративных обязательств.
Theory of Rational Option Pricing - безарбитражная разработка Мертона, ее предпосылки и результаты оценки опционов.
Option Pricing: A Simplified Approach - дискретная модель Кокса-Росса-Рубинштейна и предельная конструкция для моделирования исполнения и событий.
A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options - расширение со стохастической волатильностью, показывающее модельный риск за пределами постоянной σ.
Characteristics and Risks of Standardized Options - права, исполнение, назначение, расчет и риски стандартизированных опционов.
S&P 500 Index Options Product Specifications - специальное для продукта подтверждение необходимости определить исполнение, расчет, множитель и торговые сроки до оценки.
Treasury Yield Curve Methodology - официальное описание парной кривой Treasury, исходных данных и построения; парная точка не является автоматически нулевой ставкой модели.
Search Filings - портал поиска отчетности эмитентов и ценовых приложений; существенные условия нужно брать из найденного документа, а не выводить из страницы поиска.