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方差互换复制：从期权组合到方差敞口

仅供教育参考，不构成投资建议

直接答案

Section titled “直接答案”

方差互换复制把实现收益率方差与一个包含对数支付、动态调整的远期或标的头寸及现金的组合联系起来。终端对数支付又可以由跨越连续执行价的欧式 Call 和 Put 表示，由此可用一组期权近似估算公平方差。

核心并不是“买齐所有期权就得到方差”。在理想假设下，参考执行价以下的虚值 Put 和以上的虚值 Call 按与 1/K² 成比例的权重配置；期权组合提供终端凸性，沿路径动态交易则把该支付与实现方差连接起来。

真实市场只有离散执行价、有限尾部、买卖报价、离散对冲和特定结算规则。因此结果是带有复制和执行风险的近似，不是保证套利。

从对数合约到期权组合

Section titled “从对数合约到期权组合”

对连续扩散过程应用伊藤公式，可将累计平方收益与动态交易头寸及终端对数支付联系起来。静态复制恒等式又把足够平滑的终端支付分解为现金、远期和跨全部执行价的期权。对数支付对应的期权密度按 1/K² 缩放。

常用的离散公平方差近似为：

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

其中 T 为到期年数，F 为期权隐含远期价，K₀ 为不高于 F 的第一个执行价，R 为匹配期限的无风险利率，Q(Kᵢ) 为选定期权价格。按 Cboe 风格构造，Kᵢ<K₀ 使用虚值 Put，Kᵢ>K₀ 使用虚值 Call，K₀ 处合并 Put 与 Call。内部执行价的 ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2，两端使用相邻间隔。

1/K² 只是权重的一部分。执行价间隔 ΔK、期限、利率、价格、远期修正和筛选规则都很重要。结果是年化方差；只有结果非负且口径匹配时，开平方再乘 100 才得到波动率形式数字。

VIX 方法是与方差互换数学相关、可观察的实现，但 VIX 本身是遵循特定期权筛选、插值、计时和发布规则的指数，并不等同于每一份场外方差互换或其实现端支付。

单个执行价贡献示例

Section titled “单个执行价贡献示例”

考虑 30 天期权组合中的一张虚值 Put。设 T=30/365、R=4%、执行价 K=90、相邻执行价间隔 ΔK=5、选定期权价格 Q(K)=$0.60（每指数点）。它在包含前置年化因子后的求和贡献为：

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

一方差基点等于 0.0001，所以这是约 90.4 个方差基点。它不是完整公平方差，√0.00904≈9.51% 也不是期权组合的最终波动率。必须加总所有符合条件的执行价，再减去远期修正项。

假设陈旧 Ask 让这张 Put 的选定价格从 $0.60 变为 $0.90，其计算贡献会上升 50%，约为 0.01356。这说明即使公式无误，深尾报价、筛选规则与流动性也会显著影响估计。

上市股票期权权利金通常按每股报价，标准合约通常对应 100 股。这种合约现金换算不同于标准化的指数或方差公式；除非方法明确要求，否则不要把乘数直接放入公式。

复制缺口与控制

Section titled “复制缺口与控制”
  • Call、Put、远期、利率和时间戳必须来自同一到期日与观察时点；异步报价会制造虚假曲面。
  • 按统一、有文档的方法推导 F 和 K₀，不要机械用现货替代远期。
  • 严格执行执行价筛选、零 Bid、中间价、端点和插值规则；这些选择会改变组合。
  • 同时查看 Bid 和 Ask；平滑的中间价计算不证明整个组合能同步成交。
  • 量化尾部截断。缺少低执行价 Put 和高执行价 Call，会使理论连续组合不完整。
  • 比较多组执行价格网和报价过滤规则，以识别离散化与陈旧报价敏感度。
  • 匹配实现方差定义：对数或简单收益、观察日历、采样频率、年化、市场中断规则和结算价。
  • 连续路径恒等式会产生跳跃与离散采样误差；动态对冲还包含跳空、流动性和交易成本风险。
  • 公司行动、股息、美式行权、结算方式、税务、保证金和合约调整会让上市期权执行偏离理想欧式推导。
  • 方差名义本金会形成非线性金额敞口，必须阅读支付上限、方差执行价、名义口径和结算条款。

常见误区

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  • “只用 1/K² 就能得到权重。” 还需要 ΔK、期权价格、贴现、期限、筛选和远期修正。
  • “只有平值期权决定方差。” 构造使用广泛执行价的虚值 Put 与 Call。
  • “期权组合本身精确支付实现方差。” 理论恒等式还包含动态交易与现金项。
  • “VIX 就是方差互换。” 它是按自身方法计算的指数，合约支付与实现端必须另外核对。
  • “远端执行价权利金很小，可以忽略。” 尾部用于表示极端状态，截断会产生误差。
  • “模型无关公式没有假设。” 它减少对特定随机波动率模型的依赖，但仍依赖市场、路径、采样和实施条件。
  • “表格算对就能执行对冲。” 价差、陈旧报价、部分成交、保证金和调仓费用仍然存在。

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权威来源

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