三叉树期权定价：三状态格点与提前行权

仅供教育参考，不构成投资建议

直接答案

三叉树把时间和价格离散成格点，标的每一步可上涨、保持中间水平或下跌。校准风险中性转移概率后，先计算到期支付，再在每个节点对概率加权价值贴现，逐步倒推到今天。

比二叉树多出的中间分支，提供了更多自由度来匹配矩、让节点对齐行权价或障碍，并改善数值表现。但三分支不自动代表更准确；参数化、步数、股息、行权规则、边界与市场输入共同决定结果。

树模型特别适合美式期权，因为每个节点都能比较继续持有与立即行权。三种分支是数值状态，不是预测股票实际只会出现这三个价格。

对步长 Δt，定义股票乘数 u > m > d 和概率 pᵤ、pₘ、p_d。重组树让“先涨后跌”等路径回到已有节点，从而控制节点数量。

风险中性概率至少满足：

pᵤ + pₘ + p_d = 1

且连续股息率为 q 时：

pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)。

具体三叉树方案还会加入方差或矩匹配条件，以确定三个概率和乘数。所有概率必须介于零和一；负“概率”表示网格或参数无效，不是可交易预测。

到期时，Call 设 V = max(S−K,0)，Put 设 max(K−S,0)。每个更早节点的欧式续持价值为：

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)。

美式期权使用：

V = max(V_continue, 内在价值)。

重复至根节点。离散现金股息要求股票树或节点转移反映除息下跌。希腊值可由相邻节点差分估算，但网格对齐与有限差分会带来数值噪声。

设 S₀ = $100，Put 行权价 K = $105，一步风险自由增长因子 R = 1.02。取 u = 1.10、m = 1.00、d = 0.90，概率为：

pᵤ = 0.35、pₘ = 0.50、p_d = 0.15。

概率和为一，预期股票增长为：

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R。

欧式 Put 价值为：

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569。

美式 Put 在根节点立即行权价值是 $105 − $100 = $5。由于 $5 > $4.6569，这棵一步树选择行权，美式 Put 价值为 $5。

交叉检查：对应欧式 Call 只在上涨状态支付 $5，所以 C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157。于是 C − P = −$2.9412，与 S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412 一致。