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분산스왑 복제: 옵션 스트립에서 분산 익스포저로

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

섹션 제목: “직접 답변”

분산스왑 복제는 실현 수익률 분산을 로그 지급, 동적으로 조정하는 선도 또는 기초자산 포지션, 현금으로 구성된 조합과 연결합니다. 만기 로그 지급은 연속적인 행사가의 유럽형 Call과 Put으로 표현할 수 있어 옵션 스트립으로 공정분산을 근사할 수 있습니다.

핵심은 “모든 옵션을 사면 분산이 생긴다”가 아닙니다. 이상적 가정에서는 기준 행사가 아래의 외가격 Put과 위의 외가격 Call을 1/K²에 비례하도록 가중합니다. 옵션 스트립은 만기 볼록성을 제공하고 경로 중 동적 거래가 그 지급을 실현분산과 연결합니다.

실제 시장에는 이산 행사가, 유한한 꼬리, Bid/Ask, 이산 헤지 및 계약별 결제만 있습니다. 따라서 복제·체결 위험이 있는 근사이며 보장된 차익거래가 아닙니다.

로그계약에서 옵션 스트립으로

섹션 제목: “로그계약에서 옵션 스트립으로”

연속 확산 가격의 로그에 이토 공식을 적용하면 누적 제곱수익률을 동적 거래와 만기 로그 지급에 연결할 수 있습니다. 정적 복제 항등식은 충분히 매끄러운 만기 지급을 현금, 선도, 전체 행사가의 옵션으로 분해합니다. 로그 지급의 옵션 밀도는 1/K²로 조정됩니다.

널리 쓰이는 이산 공정분산 근사는 다음과 같습니다.

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

T는 만기까지의 연수, F는 옵션 내재 선도가격, K₀는 F 이하의 첫 행사가, R은 동일 만기 무위험금리, Q(Kᵢ)는 선택 옵션 가격입니다. Cboe 방식은 Kᵢ<K₀에 OTM Put, Kᵢ>K₀에 OTM Call, K₀에서 Put과 Call의 평균을 씁니다. 내부 행사가의 ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2이고 끝점은 인접 간격을 사용합니다.

1/K²는 가중치의 한 요소일 뿐입니다. ΔK, 기간, 금리, 가격, 선도 보정 및 선택 규칙도 필요합니다. 결과는 연율 분산이며, 비음수이고 규약이 일치할 때만 제곱근에 100을 곱해 변동성 형태로 표시할 수 있습니다.

VIX 방법은 분산스왑 수학과 관련된 관찰 가능한 구현이지만 VIX 자체는 정해진 옵션 선택, 보간, 시간 및 공표 규칙을 가진 지수입니다. 모든 장외 분산스왑이나 그 실현 레그와 동일하지 않습니다.

단일 행사가 기여 예시

섹션 제목: “단일 행사가 기여 예시”

30일 스트립의 OTM Put 하나를 봅니다. T=30/365, R=4%, 행사가 K=90, 인접 행사가 간격 ΔK=5, 선택 가격 Q(K)=$0.60(지수 단위당)이라고 가정합니다. 선행 연율화 계수를 포함한 합계 기여는:

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

1분산 베이시스포인트가 0.0001이므로 약 90.4분산bp입니다. 이는 전체 공정분산이 아니며 √0.00904≈9.51%도 스트립의 최종 변동성이 아닙니다. 모든 대상 행사가를 더한 뒤 선도 보정 항을 빼야 합니다.

오래된 Ask 때문에 선택 가격이 $0.60이 아니라 $0.90이라면 이 Put의 계산 기여는 50% 늘어난 약 0.01356입니다. 공식이 맞아도 깊은 꼬리 호가, 선택 규칙 및 유동성이 추정치에 큰 영향을 줍니다.

상장 주식 옵션 프리미엄은 보통 주당 표시되고 표준계약은 일반적으로 100주입니다. 이 현금 변환은 정규화된 지수·분산 공식과 별개입니다. 방법론이 요구하지 않는 한 승수를 공식에 넣지 않습니다.

복제 차이와 통제

섹션 제목: “복제 차이와 통제”
  • Call, Put, 선도, 금리 및 시각을 같은 만기와 관찰 시점에서 가져옵니다. 비동기 호가는 거짓 표면을 만듭니다.
  • 현물로 기계적으로 대체하지 말고 일관된 문서화 방식으로 F와 K₀를 구합니다.
  • 행사가 선택, 제로 Bid, 중간값, 끝점 및 보간 규칙을 정확히 적용합니다.
  • Bid와 Ask를 모두 확인합니다. 매끄러운 중간값 계산은 모든 레그의 동시 체결을 보장하지 않습니다.
  • 꼬리 절단을 정량화합니다. 낮은 행사가 Put과 높은 행사가 Call의 누락은 이론적 연속체를 불완전하게 합니다.
  • 여러 행사가 격자와 호가 필터로 이산화 및 오래된 가격 민감도를 검사합니다.
  • 실현분산 정의를 맞춥니다. 로그·단순수익률, 달력, 표본 빈도, 연율화, 시장중단 및 결제가를 확인합니다.
  • 연속경로 항등식에는 점프·이산표본 오차가 생기며 동적 헤지에는 갭, 유동성 및 비용 위험이 있습니다.
  • 기업행동, 배당, 미국형 행사, 결제방식, 세금, 증거금 및 계약조정은 이상적인 유럽형 도출과 차이를 만듭니다.
  • 분산 명목금액은 비선형 달러 익스포저를 만들 수 있습니다. 지급 상한, 분산 행사가, 명목 규약 및 결제조건을 확인합니다.

흔한 오해

섹션 제목: “흔한 오해”
  • “1/K²만으로 가중치가 정해진다.” ΔK, 가격, 할인, 기간, 선택 및 선도 보정도 필요합니다.
  • “등가격 옵션만 분산을 결정한다.” 광범위한 OTM Put과 Call을 사용합니다.
  • “옵션 스트립만으로 실현분산을 정확히 지급한다.” 이론 항등식에는 동적 거래와 현금 항도 있습니다.
  • “VIX는 분산스왑이다.” 자체 방법론을 가진 지수이며 계약 지급과 실현 레그는 따로 확인합니다.
  • “먼 행사가 옵션은 저렴하므로 무시해도 된다.” 꼬리는 극단 상태를 표현하고 절단은 오차를 만듭니다.
  • “모형 독립적 공식에는 가정이 없다.” 특정 모형 의존성을 줄여도 시장, 경로, 표본 및 구현 조건에 의존합니다.
  • “스프레드시트가 맞으면 헤지를 체결할 수 있다.” 스프레드, 오래된 호가, 부분체결, 증거금 및 재조정 비용이 남습니다.

관련 주제

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권위 있는 출처

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