分散スワップの複製：オプション・ストリップから分散エクスポージャーへ

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接的な答え

分散スワップの複製は、実現リターン分散を、対数ペイオフ、動的に調整する先渡しまたは原資産ポジション、現金から成る組合せに結び付けます。満期の対数ペイオフは連続する行使価格の欧州型 Call と Put で表せるため、オプション・ストリップから公正分散を近似できます。

要点は「全オプションを買えば分散になる」ことではありません。理想的な仮定では、基準行使価格より下の OTM Put と上の OTM Call を 1/K² に比例するウェイトで保有します。オプションは満期の凸性を供給し、経路上の動的取引がそのペイオフを実現分散へ結び付けます。

実市場には離散的な行使価格、有限のテール、Bid/Ask、離散ヘッジ、契約固有の決済しかありません。したがって、複製・執行リスクを持つ近似であり、保証された裁定ではありません。

対数契約からオプション・ストリップへ

連続拡散の価格対数に伊藤の公式を適用すると、累積二乗リターンを動的取引と満期対数ペイオフに関係付けられます。静的複製恒等式は、十分滑らかな満期ペイオフを現金、先渡し、全行使価格のオプションに分解します。対数ペイオフではオプション密度が 1/K² で変化します。

広く使われる離散的な公正分散の近似は：

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

T は満期までの年数、F はオプションから推定した先渡価格、K₀ は F 以下で最初の行使価格、R は同期間の無リスク金利、Q(Kᵢ) は選択したオプション価格です。Cboe 型では Kᵢ<K₀ に OTM Put、Kᵢ>K₀ に OTM Call、K₀ では Put と Call の平均を使います。内部行使価格では ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2、端点では隣接間隔を使います。

1/K² はウェイトの一部にすぎません。ΔK、期間、金利、価格、先渡し補正、選択規則も必要です。結果は年率分散であり、非負かつ規約が一致するときだけ、平方根を取り100倍してボラティリティ形式にできます。

VIX 手法は分散スワップ数学に関係する観測可能な実装ですが、VIX 自体は所定の選択、補間、時刻、配信規則を持つ指数です。すべての OTC 分散スワップや実現レッグと同一ではありません。

1行使価格の寄与例

30日ストリップの1本の OTM Put を考えます。T=30/365、R=4%、行使価格 K=90、隣接間隔 ΔK=5、選択価格 Q(K)=$0.60（指数1単位当たり）とします。先頭の年率化係数を含む総和への寄与は：

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

1分散ベーシスポイントは 0.0001 なので、約 90.4 分散bpです。これは公正分散全体ではなく、√0.00904≈9.51% もストリップの最終ボラティリティではありません。全対象行使価格を合計し、先渡し補正項を引く必要があります。

古い Ask により選択価格が $0.60 ではなく $0.90 なら、この Put の計算寄与は50%増えて約 0.01356 になります。式が正しくても、深いテールの気配、選択規則、流動性が推定に大きく影響します。

上場株式オプションのプレミアムは通常1株当たりで、標準契約は一般に100株です。この現金換算は正規化された指数・分散式とは別です。手法が要求しない限り乗数を式に入れません。

複製ギャップと管理

Call、Put、先渡し、金利、時刻を同じ満期・観測時点から取得します。非同期気配は偽のサーフェスを作ります。
スポットで機械的に代用せず、統一された文書化手法で F と K₀ を求めます。
行使価格選択、ゼロ Bid、中間値、端点、補間規則を厳密に適用します。
Bid と Ask の両方を確認します。滑らかな中間値計算は全レッグの同時約定を保証しません。
テール切断を定量化します。低行使 Put と高行使 Call の欠落は理論的連続体を不完全にします。
複数の行使価格グリッドと気配フィルターで離散化・古い価格への感応度を調べます。
実現分散の定義を一致させます。対数・単純リターン、暦、頻度、年率化、市場中断、決済価格を確認します。
連続経路恒等式にはジャンプ・離散標本誤差が生じ、動的ヘッジにはギャップ、流動性、費用リスクがあります。
企業行動、配当、米国型行使、決済方式、税、証拠金、契約調整は理想的な欧州型導出から乖離させます。
分散ノーショナルは非線形な金額エクスポージャーになります。上限、分散ストライク、ノーショナル、決済条項を読みます。

よくある誤解

「1/K² だけでウェイトが決まる。」 ΔK、価格、割引、期間、選択、先渡し補正も必要です。
「ATM オプションだけが分散を決める。」 広範な OTM Put と Call を使います。
「ストリップだけで実現分散を正確に払う。」 理論恒等式には動的取引と現金項もあります。
「VIX は分散スワップである。」 独自手法の指数であり、契約ペイオフと実現レッグは別に確認します。
「遠い行使価格は安いので無視できる。」 テールは極端状態を表し、切断は誤差を作ります。
「モデルフリー式には仮定がない。」 特定モデルへの依存を減らしても、市場、経路、標本、実装条件に依存します。
「表計算が正しければヘッジできる。」 スプレッド、古い気配、部分約定、証拠金、調整費用が残ります。

権威ある情報源

A Guide to Volatility and Variance Swaps — Kresimir Demeterfi、Emanuel Derman、Michael Kamal、Joseph Zou
Variance Risk Premiums — Peter Carr、Liuren Wu
Cboe Volatility Index Mathematics Methodology — Cboe Global Indices
Characteristics and Risks of Standardized Options — Options Clearing Corporation