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方差交換複製：從期權組合到方差曝險

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

Section titled “直接答案”

方差交換複製把實現報酬率方差與一個包含對數支付、動態調整的遠期或標的部位及現金的組合連結起來。終端對數支付又可由跨越連續履約價的歐式 Call 與 Put 表示，因此能用一組期權近似估算公平方差。

核心並不是「買齊所有期權就得到方差」。在理想假設下，參考履約價以下的價外 Put 和以上的價外 Call 按與 1/K² 成比例的權重配置；期權組合提供終端凸性，沿路徑動態交易則把該支付與實現方差連結起來。

真實市場只有離散履約價、有限尾部、買賣報價、離散避險與特定結算規則。因此結果是帶有複製與執行風險的近似，不是保證套利。

從對數合約到期權組合

Section titled “從對數合約到期權組合”

對連續擴散過程套用伊藤公式，可將累計平方報酬與動態交易部位及終端對數支付連結起來。靜態複製恆等式又把足夠平滑的終端支付分解為現金、遠期與跨全部履約價的期權。對數支付對應的期權密度按 1/K² 縮放。

常用的離散公平方差近似為：

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

其中 T 為到期年數，F 為期權隱含遠期價，K₀ 為不高於 F 的第一個履約價，R 為匹配期限的無風險利率，Q(Kᵢ) 為選定期權價格。按 Cboe 風格構造，Kᵢ<K₀ 使用價外 Put，Kᵢ>K₀ 使用價外 Call，K₀ 處合併 Put 與 Call。內部履約價的 ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2，兩端使用相鄰間隔。

1/K² 只是權重的一部分。履約價間隔 ΔK、期限、利率、價格、遠期修正與篩選規則都很重要。結果是年化方差；只有結果非負且口徑匹配時，開平方再乘 100 才得到波動率形式數字。

VIX 方法是與方差交換數學相關、可觀察的實作，但 VIX 本身是遵循特定期權篩選、插值、計時和發布規則的指數，並不等同於每一份場外方差交換或其實現端支付。

單一履約價貢獻範例

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考慮 30 天期權組合中的一張價外 Put。設 T=30/365、R=4%、履約價 K=90、相鄰履約價間隔 ΔK=5、選定期權價格 Q(K)=$0.60（每指數點）。它在包含前置年化因子後的加總貢獻為：

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

一方差基點等於 0.0001，所以這是約 90.4 個方差基點。它不是完整公平方差，√0.00904≈9.51% 也不是期權組合的最終波動率。必須加總所有符合條件的履約價，再減去遠期修正項。

假設陳舊 Ask 讓這張 Put 的選定價格從 $0.60 變為 $0.90，其計算貢獻會上升 50%，約為 0.01356。這說明即使公式無誤，深尾報價、篩選規則與流動性也會顯著影響估計。

上市股票期權權利金通常按每股報價，標準合約通常對應 100 股。這種合約現金換算不同於標準化的指數或方差公式；除非方法明確要求，否則不要把乘數直接放入公式。

複製缺口與控制

Section titled “複製缺口與控制”
  • Call、Put、遠期、利率與時間戳必須來自同一到期日及觀察時點；非同步報價會製造虛假曲面。
  • 按統一、有文件的方法推導 F 與 K₀，不要機械地用現貨取代遠期。
  • 嚴格套用履約價篩選、零 Bid、中間價、端點與插值規則；這些選擇會改變組合。
  • 同時查看 Bid 與 Ask；平滑的中間價計算不證明整個組合能同步成交。
  • 量化尾部截斷。缺少低履約價 Put 與高履約價 Call，會使理論連續組合不完整。
  • 比較多組履約價格網與報價過濾規則，以辨識離散化與陳舊報價敏感度。
  • 匹配實現方差定義：對數或簡單報酬、觀察日曆、取樣頻率、年化、市場中斷規則和結算價。
  • 連續路徑恆等式會產生跳躍與離散取樣誤差；動態避險還包含跳空、流動性和交易成本風險。
  • 公司行動、股息、美式履約、結算方式、稅務、保證金與合約調整會讓上市期權執行偏離理想歐式推導。
  • 方差名目本金會形成非線性金額曝險，必須閱讀支付上限、方差履約值、名目口徑與結算條款。

常見誤解

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  • 「只用 1/K² 就能得到權重。」 還需要 ΔK、期權價格、折現、期限、篩選與遠期修正。
  • 「只有平價期權決定方差。」 構造使用廣泛履約價的價外 Put 與 Call。
  • 「期權組合本身精確支付實現方差。」 理論恆等式還包含動態交易與現金項。
  • 「VIX 就是方差交換。」 它是按自身方法計算的指數，合約支付與實現端必須另外核對。
  • 「遠端履約價權利金很小，可以忽略。」 尾部用來表示極端狀態，截斷會產生誤差。
  • 「模型無關公式沒有假設。」 它降低對特定隨機波動率模型的依賴，但仍依賴市場、路徑、取樣與實施條件。
  • 「試算表算對就能執行避險。」 價差、陳舊報價、部分成交、保證金與調倉費用仍然存在。

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權威來源

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