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Replicação de variance swap: de uma faixa de opções à exposição à variância

Entenda como uma faixa de opções fora do dinheiro aproxima um contrato logarítmico e a variância justa, como calcular os pesos por preço de exercício e como identificar erros de replicação.

Atualizado

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Escopo: este artigo explica uma aproximação ilustrativa da variância justa com opções de estilo europeu, sob as premissas indicadas de trajetória contínua e de mercado. Ele não define qualquer índice específico da Cboe, swap de variância de balcão, opção listada, conta de corretora, acordo de margem ou tratamento tributário. Termos do produto, regras de dados, elegibilidade, proteções e consequências jurídicas ou tributárias variam conforme o mercado, a conta, a jurisdição e a data; para um caso específico, consulte os documentos vigentes e profissionais qualificados.

Resposta direta

A replicação de um variance swap relaciona a variância realizada dos retornos a uma carteira com um payoff logarítmico, uma posição dinâmica no termo ou no ativo subjacente e caixa. O payoff logarítmico no vencimento, por sua vez, pode ser representado por um contínuo de opções europeias de compra e venda em diferentes preços de exercício. Essa relação permite aproximar, na prática, a variância justa por meio de uma faixa de opções.

A ideia central não é “comprar todas as opções e obter variância”. Sob premissas idealizadas, Puts fora do dinheiro abaixo de um preço de exercício de referência e Calls fora do dinheiro acima dele recebem pesos proporcionais a 1/K²; a faixa de opções fornece a convexidade no vencimento, enquanto a negociação dinâmica ao longo da trajetória liga esse payoff à variância realizada.

Os mercados reais oferecem apenas preços de exercício discretos, caudas finitas, cotações Bid/Ask, cobertura discreta e liquidação específica de contrato. O resultado é uma aproximação com replicação explícita e risco de execução, e não uma arbitragem garantida.

Do contrato logarítmico à faixa de opções

Para uma difusão contínua, a fórmula de Itô aplicada ao logaritmo do preço relaciona retornos quadrados cumulativos a uma posição negociada dinamicamente e um retorno logarítmico terminal. Uma identidade de replicação estática decompõe então uma recompensa terminal suficientemente suave em dinheiro, um forward e opções em todos os strikes. Para o resultado logarítmico, a densidade da opção é dimensionada como 1/K².

Uma aproximação discreta de variância justa amplamente utilizada é:

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

Aqui T é o prazo até o vencimento em anos, F é o termo implícito nas opções, K₀ é o primeiro preço de exercício igual ou inferior a F, R é a taxa livre de risco do prazo correspondente e Q(Kᵢ) é o preço selecionado da opção. Na construção ao estilo Cboe, usam-se Puts OTM para Kᵢ<K₀, Calls OTM para Kᵢ>K₀ e a média do Put e do Call em K₀. Para um preço de exercício interno, ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2; nas pontas, usa-se o intervalo adjacente.

O fator 1/K² é apenas uma parte do peso. Também importam o espaçamento entre preços de exercício ΔK, o prazo, as taxas, o preço, o ajuste do termo e as regras de seleção. O resultado é variância anualizada; extrair a raiz quadrada e multiplicar por 100 só produz um número comparável à volatilidade se a variância não for negativa e as convenções forem compatíveis.

A metodologia VIX é uma aplicação observável relacionada à matemática dos variance swaps, mas o VIX é um índice com regras próprias de seleção de opções, interpolação, contagem de tempo e divulgação. Ele não equivale a todos os contratos de variance swap de balcão nem à sua ponta realizada.

Exemplo de contribuição de um preço de exercício

Considere um Put OTM em uma faixa de 30 dias. Sejam T=30/365, R=4%, preço de exercício K=90, intervalo entre preços vizinhos ΔK=5 e preço selecionado Q(K)=$0.60 por unidade de índice. Sua contribuição para a soma, já com o fator inicial de anualização, é:

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

Isso equivale a cerca de 90.4 pontos-base de variância, pois um ponto-base de variância é 0.0001. Não é toda a variância justa, e √0.00904≈9.51% não é a volatilidade final da faixa. É necessário somar todos os preços de exercício elegíveis e depois subtrair o termo de ajuste do forward.

Suponha que uma cotação desatualizada faça o preço selecionado desse Put ser $0.90 em vez de $0.60. A contribuição calculada aumenta 50%, para aproximadamente 0.01356, mostrando como cotações de cauda, regras de seleção e liquidez podem alterar de forma relevante a estimativa mesmo com a fórmula aplicada corretamente.

Para opções listadas sobre ações, os prêmios normalmente são cotados por ação e um contrato padrão costuma ter multiplicador de 100 ações. Essa conversão monetária do contrato é separada do índice normalizado ou da fórmula de variância; não inclua o multiplicador salvo quando a metodologia o exigir.

Lacunas e controles de replicação

  • Use Calls, Puts, forward, taxas e horários do mesmo vencimento e momento de observação; cotações assíncronas podem criar uma superfície falsa.
  • Calcule F e K₀ por um único método documentado, sem substituir mecanicamente o termo pelo preço à vista.
  • Aplique exatamente as regras de seleção de preços de exercício, Bid ou Ask zero, ponto médio, pontas e interpolação; essas escolhas alteram a faixa.
  • Examine Bid e Ask. Um cálculo uniforme por pontos médios não prova que toda a carteira possa ser executada ao mesmo tempo.
  • Quantifique o truncamento das caudas. A ausência de Puts com preços de exercício baixos e Calls com preços altos deixa incompleto o contínuo teórico.
  • Compare diferentes grades e filtros de cotação para revelar a sensibilidade à discretização e a preços desatualizados.
  • Use a mesma definição de variância realizada: retornos logarítmicos ou simples, calendário de observação, frequência de amostragem, anualização, regras de interrupção e preço de liquidação.
  • Identidades de caminho contínuo podem incorrer em erros de salto e amostragem discreta; a cobertura dinâmica também introduz riscos de gap, liquidez e custos de transação.
  • Eventos societários, dividendos, exercício americano, modalidade de liquidação, tributos, margem e ajustes contratuais podem afastar a execução com opções listadas da derivação europeia idealizada.
  • Um notional de variância pode gerar exposição monetária não linear. Verifique o limite de pagamento, o strike de variância, a convenção do notional e os termos de liquidação.

Erros comuns

  • “A regra 1/K² sozinha determina o peso.” Também são necessários ΔK, preço da opção, desconto, prazo, seleção e ajuste do forward.
  • “Somente opções no dinheiro determinam a variância.” A construção usa uma faixa ampla de Puts e Calls OTM.
  • “A faixa de opções, sozinha, paga exatamente a variância realizada.” A identidade teórica também contém termos de negociação dinâmica e caixa.
  • “VIX é um swap de variância.” É um índice calculado com metodologia própria; os pagamentos do contrato e as pontas realizadas devem ser verificados separadamente.
  • “Preços de exercício mais distantes podem ser ignorados porque os prêmios são pequenos.” As caudas ajudam a representar estados extremos, e o truncamento gera erro.
  • “Uma fórmula sem modelo não tem suposições.” Ela reduz a dependência de um modelo de volatilidade estocástica escolhido, mas ainda depende do mercado, do caminho, da amostragem e das condições de implementação.
  • “Uma planilha correta garante um hedge executável.” Spreads amplos, cotações obsoletas, execuções parciais, margem e custos de reequilíbrio permanecem.

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