Replica di un variance swap: da una striscia di opzioni all'esposizione alla varianza

Scopri come una serie di opzioni out-of-the-money (OTM) si avvicina a un contratto logaritmico e a una varianza equa, calcola i pesi di esercizio e identifica gli errori di replica.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Ambito: questo articolo illustra un’approssimazione esemplificativa della varianza equa mediante opzioni di tipo europeo, nelle ipotesi dichiarate di percorso continuo e di mercato. Non definisce alcuno specifico indice Cboe, variance swap OTC, opzione quotata, conto presso un intermediario, accordo di margine o trattamento fiscale. Condizioni del prodotto, regole sui dati, requisiti di accesso, tutele e conseguenze legali o fiscali variano in base a sede di negoziazione, conto, giurisdizione e data; per un caso concreto occorre consultare i documenti vigenti e professionisti qualificati.

Risposta diretta

La replica di un variance swap collega la varianza realizzata dei rendimenti a un portafoglio composto da un payoff logaritmico, una posizione dinamica sul forward o sul sottostante e liquidità. Il payoff logaritmico a scadenza può a sua volta essere rappresentato da un continuo di Call e Put europee su diversi prezzi di esercizio. Ne deriva un’approssimazione pratica della varianza equa mediante una striscia di opzioni.

L’idea centrale non è «comprare ogni opzione e ottenere varianza». In ipotesi idealizzate, le Put out-of-the-money sotto un prezzo di esercizio di riferimento e le Call sopra di esso ricevono pesi proporzionali a 1/K²; la striscia fornisce la convessità a scadenza, mentre la negoziazione dinamica lungo il percorso collega quel payoff alla varianza realizzata.

I mercati reali offrono solo strike discreti, code finite, quotazioni bid/ask, copertura discreta e regolamento specifico del contratto. Il risultato è un’approssimazione con replica esplicita e rischio di esecuzione, non un arbitraggio garantito.

Dal contratto logaritmico alla striscia di opzioni

Per una diffusione continua, la formula di Itô applicata al logaritmo del prezzo collega i rendimenti quadratici cumulati a una posizione negoziata dinamicamente e a un payoff logaritmico terminale. Un’identità di replica statica scompone poi un payoff terminale sufficientemente regolare in liquidità, forward e opzioni su tutti i prezzi di esercizio. Per il payoff logaritmico, la densità delle opzioni scala come 1/K².

Un’approssimazione discreta della varianza discreta ampiamente utilizzata è:

σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²

Qui T è il tempo a scadenza in anni, F è il forward implicito nelle opzioni, K₀ è il primo prezzo di esercizio pari o inferiore a F, R è il tasso privo di rischio coerente con la scadenza e Q(Kᵢ) è il prezzo selezionato dell’opzione. Nella costruzione in stile Cboe si usano Put OTM per Kᵢ<K₀, Call OTM per Kᵢ>K₀ e la media di Put e Call in K₀. Per un prezzo di esercizio interno, ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2; agli estremi si usa l’intervallo adiacente.

Il fattore 1/K² è solo una parte del peso. Contano anche la distanza tra prezzi di esercizio ΔK, la durata, i tassi, il prezzo, la correzione del forward e le regole di selezione. Il risultato è una varianza annualizzata; la radice quadrata moltiplicata per 100 produce un valore assimilabile alla volatilità solo se la varianza non è negativa e le convenzioni coincidono.

La metodologia VIX è un’implementazione osservabile correlata alla matematica dello scambio di varianza, ma il VIX stesso è un indice con regole prescritte di selezione delle opzioni, interpolazione, tempistica e diffusione. Non è identico a ogni contratto di swap di varianza OTC o alla sua gamba realizzata.

Esempio di contributo One-Strike

Considera una Put OTM in una striscia a 30 giorni. Siano T=30/365, R=4%, prezzo di esercizio K=90, intervallo tra prezzi adiacenti ΔK=5 e prezzo selezionato Q(K)=$0.60 per unità di indice. Il suo contributo alla somma, incluso il fattore iniziale di annualizzazione, è:

(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)

= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904

Si tratta di circa 90.4 punti base di varianza, perché un punto base di varianza equivale a 0.0001. Non è l’intera varianza equa e √0.00904≈9.51% non è la volatilità finale della striscia. Occorre sommare ogni prezzo di esercizio ammissibile e poi sottrarre il termine di correzione del forward.

Supponi che una quotazione obsoleta porti il prezzo selezionato di questa Put a $0.90 anziché $0.60. Il contributo calcolato aumenta del 50% fino a circa 0.01356, mostrando come quotazioni di coda, regole di selezione e liquidità possano incidere sensibilmente sulla stima anche con la formula applicata correttamente.

Per le opzioni su azioni quotate, i premi quotati sono generalmente per azione e un contratto standard ha comunemente un moltiplicatore di 100 azioni. La conversione in contanti del contratto è separata dall’indice normalizzato o dalla formula della varianza; non inserire mai il moltiplicatore a meno che la metodologia non lo richieda.

Lacune e controlli nella replica

Usa Call, Put, forward, tassi e timestamp della stessa scadenza e dello stesso momento di osservazione; quotazioni asincrone possono creare una superficie falsa.
Ricava F e K₀ con un unico metodo documentato, senza sostituire meccanicamente il forward con il prezzo spot.
Applica esattamente le regole su prezzi di esercizio, Bid o Ask pari a zero, punto medio, estremi e interpolazione; queste scelte modificano la striscia.
Ispeziona sia Bid che Ask. Un calcolo accurato del punto medio non dimostra che l’intero portafoglio possa essere scambiato simultaneamente.
Quantificare il troncamento della coda. Opzioni put con strike basso mancanti e Opzioni call con strike alto lasciano il continuum teorico incompleto.
Confronta diverse griglie di strike e filtri di quotazione per esporre la discretizzazione e la sensibilità ai prezzi stantii.
Fai coincidere la definizione di varianza realizzata: rendimenti logaritmici o semplici, calendario di osservazione, frequenza di campionamento, annualizzazione, regole di interruzione e prezzo di regolamento.
Le identità a percorso continuo possono incorrere in errori di salto e di campionamento discreto; la copertura dinamica introduce anche rischi di gap, liquidità e costi di transazione.
Le operazioni societarie, i dividendi, l’exercise (esercizio dell’opzione da parte del titolare) americano, lo stile di regolamento, le tasse, i margini e gli aggiustamenti contrattuali possono separare l’esecuzione delle opzioni quotate dalla derivazione europea idealizzata.
Un valore nominale della varianza può creare un’esposizione in dollari non lineare. Leggi il tetto massimo di rendimento del contratto, il prezzo di esercizio della varianza, la convenzione nozionale e i termini di regolamento.

Errori comuni

“La regola 1/K² da sola dà il peso.” ΔK, sono richiesti anche il prezzo dell’opzione, lo sconto, il tempo, la selezione e l’aggiustamento anticipato.
“Solo le opzioni at-the-money (ATM) determinano la varianza.” La costruzione utilizza un’ampia sezione trasversale di opzioni put e opzioni call OTM.
“La striscia di opzioni di per sé paga esattamente la varianza realizzata.” L’identità teorica contiene anche termini di trading e contanti dinamici.
“VIX è uno swap di varianza.” È un indice calcolato secondo la propria metodologia; i pagamenti contrattuali e le gambe realizzate devono essere controllati separatamente.
«I prezzi di esercizio più lontani si possono ignorare perché i premi sono piccoli». La coda contribuisce a rappresentare gli stati estremi e il troncamento genera errore.
“Una formula senza modello non ha presupposti.” Riduce la dipendenza da un modello di volatilità stocastica scelto ma si basa comunque sul mercato, sul percorso, sul campionamento e sulle condizioni di implementazione.
“Un foglio di calcolo corretto garantisce una copertura eseguibile.” Rimangono spread ampi, quotazioni obsolete, riempimenti parziali, margine e costi di ribilanciamento.

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Fonti autorevoli

Una guida alla volatilità e agli swap di varianza — Kresimir Demeterfi, Emanuel Derman, Michael Kamal e Joseph Zou
Premi per il rischio di varianza — Peter Carr e Liuren Wu
Metodologia matematica dell’indice di volatilità Cboe — Indici globali Cboe
Caratteristiche e rischi delle opzioni standardizzate — Options Clearing Corporation