لأغراض تعليمية فقط؛ لا يشكل ذلك نصيحة استثمارية أو توصية استثمارية. قد تؤدي الاستثمارات إلى خسائر.
الإجابة المباشرة
نموذج التقلب المحلي يجعل التقلبات اللحظية وظيفة حتمية للمستوى الأساسي الحالي والوقت: dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t بموجب مواصفات بسيطة محايدة للمخاطر. على عكس بلاك سكولز مع تقلب واحد ثابت، فإنه يمكن إعادة إنتاج مقطع عرضي كامل من أسعار الخيارات الأوروبية عبر الإضرابات وانتهاء الصلاحية عند معايرتها على سطح سلس ومتسق بما فيه الكفاية للمراجحة.
يكتمل النموذج في إعداد الانتشار المثالي الخاص به وهو مفيد لتسعير المطالبات المعتمدة على المسار وتحوطات الحوسبة المتوافقة مع سطح الفانيليا اليوم. إن التوافق التام اليوم لا يعني أنه يتنبأ بسطح التقلب الضمني في الغد. يتم فرض ديناميكيات الابتسامة المستقبلية من خلال الوظيفة الحتمية ويمكن أن تختلف ماديًا عن الأسواق المرصودة.
ميكانيكا معايرة دوبير
افترض أن C(K,T) هو سعر المكالمة الأوروبي كدالة للإضراب K وانتهاء الصلاحية T، مع المعدل الثابت r وعائد الأرباح q للتوضيح. تعطي معادلة دوبير الأمامية ما يلي:
σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].
يرتبط انحناء سعر التنفيذ ∂²_KK C بالكثافة الطرفية المحايدة للمخاطر. ولذلك يجب أن تنخفض أسعار المكالمات وتبقى محدبة في سعر التنفيذ، ويجب أن تكون علاقات التقويم متسقة، قبل أن تصبح الصيغة ذات معنى. ومن الناحية العملية، تقوم المكاتب أولا بتنظيف الأسعار، وتحويل الأسعار والأرباح إلى عوامل آجلة وخصم، وتناسب سطح أملس يمكن التحكم فيه في المراجحة، والتمييز بينه، ثم استيفاء أو استقراء شبكة التقلبات المحلية.
إن σ_loc(K,T) الذي تمت معايرته ليس مجرد التقلبات الضمنية المقتبسة عند هذا سعر التنفيذ والنضج. التقلب الضمني هو أحد معلمات بلاك سكولز الثابتة التي تستنسخ سعر خيار معين؛ التقلب المحلي هو معامل الانتشار اللحظي المعتمد على الحالة والذي يعيد توزيعه إنتاج السطح الأوسع.
حساب دوباير توضيحي
عند K=$100 وT=1 سنة، لنفترض أن سطح أسعار الشراء الأملس يعطي C=$8، و∂_T C=10 دولارات سنويًا، و∂_K C=-0.45، و∂²_KK C=0.018 لكل دولار. ولتكن r=5% وq=2%. البسط هو:
10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.
المقام هو 0.5×100²×0.018=90. وبالتالي فإن التباين المحلي هو 8.81/90=0.0979 والتقلب المحلي هو √0.0979=31.3%.
هذا توضيح رقمي، وليس تقديرًا للسوق. إذا غيرت التركيبات المزعجة الانحناء من 0.018 إلى 0.012 بينما ظلت المدخلات الأخرى ثابتة، فإن التقلب المستنتج سيرتفع إلى √(8.81/60)=38.3%. يوضح التغيير الكبير أهمية تصفية عروض الأسعار، والتجانس بدون المراجحة، واستقرار الشبكة، والفحوصات خارج العينة.
قائمة مراجعة المعايرة والمخاطر النموذجية
- استخدم عروض أسعار الخيارات القابلة للتنفيذ المتزامنة والأسعار الآجلة وعوامل الخصم والأرباح وشروط العقد واتفاقيات التسوية.
- إزالة الملاحظات المتقاطعة والقديمة والصفرية وغير المتسقة اقتصادياً بموجب قواعد موثقة.
- فرض تحدب سعر التنفيذ ورتابة التقويم المناسبة قبل أخذ المشتقات الرقمية.
- اختبار الحساسية للاستيفاء، وتنعيم العقوبات، وأوزان الاقتباس، وتباعد الشبكة، والشروط الحدودية، والاستقراء.
- إعادة تسعير جميع وحدات المعايرة والإبلاغ عن الأخطاء في وحدات السعر القابلة للتنفيذ، وليس فقط نقاط التقلب الضمنية.
- قارن سلوك التحوط من التقلبات المحلية مع بدائل بلاك سكولز وبدائل التقلب العشوائية في ظل الصدمات الفورية والابتسامة.
- فجوات التوتر والقفزات. لا يمكن للانتشار المستمر أن يمنع الانقطاع الفوري.
- التعامل مع ديناميكيات السطح المستقبلية كافتراض نموذجي. غالباً ما تنتج التقلبات المحلية حركة ابتسامة مختلفة عن السوق.
- توخي الحذر مع الحواجز والمطالبات الأخرى التي تعتمد على المسار والتي تعتمد قيمتها على توزيع المسار النموذجي، وليس فقط أسعار الفانيليا النهائية.
- إعادة المعايرة عندما يتغير السطح وتمييز أرباح وخسائر السوق، والتحمل، وخطأ التحوط، وتأثيرات إعادة معايرة النموذج.
- تجنب استقراء الأجنحة المتناثرة أو فترات الاستحقاق الطويلة دون حدود صريحة؛ يمكن للمشتقات تضخيم أخطاء الإدخال الصغيرة.
- قم بتضمين السيولة وتكاليف المعاملات والتحوط المنفصل والتمرين المبكر وشروط الطرف المقابل أو التسوية خارج المعادلة المثالية.
مفاهيم خاطئة شائعة
- “التقلبات المحلية تساوي التقلبات الضمنية عند كل نقطة.” الكائنان لهما تعريفات واستخدامات مختلفة.
- “المعايرة الدقيقة تثبت صحة النموذج.” العديد من النماذج يمكن أن تناسب أسعار الفانيليا اليوم في حين تنطوي على مسارات وتحوطات مختلفة.
- “يمكن تطبيق صيغة Dupire مباشرة على عروض الأسعار الأولية.” فهو يتطلب مشتقات سلسة ومدخلات متسقة مع المراجحة.
- “الانتشار الكامل يزيل كل المخاطر.” لا تزال هناك فجوات، والتحوط المنفصل، والسيولة، وتغييرات المعلمات، وخطأ النموذج.
- “المزيد من التفاصيل السطحية تعمل دائمًا على تحسين الدقة.” يمكن أن يؤدي التمايز إلى تضخيم الاقتباسات الصاخبة وغير السائلة.
- “النموذج يتنبأ بالتقلبات.” تستخرج المعايرة وظيفة تسعير محايدة للمخاطر؛ إنها ليست توقعات مادية.
- “النموذجان اللذان يتطابقان مع جميع أنواع الفانيليا يجب أن يسعرا كل الأنواع الغريبة بالتساوي.” يمكن أن تختلف توزيعات المسار وديناميكيات الابتسامة المستقبلية.
- “التباين المحلي السلبي إشارة صالحة.” يشير عادةً إلى بيانات غير متناسقة أو تجانس أو مشتقات أو افتراضات تتطلب التحقيق.