Modèle de volatilité locale : des prix d'options à la volatilité dépendante de l'état

Comprenez comment un modèle de volatilité locale convertit une surface d'option cohérente avec l'arbitrage en une fonction de volatilité déterministe, comment fonctionne l'équation de Dupire et pourquoi un calibrage exact ne garantit pas une dynamique future réaliste.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Un modèle de volatilité locale fait de la volatilité instantanée une fonction déterministe du niveau actuel du sous-jacent et du temps : dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t dans une spécification simple neutre au risque. Contrairement à Black-Scholes avec une volatilité constante, il peut reproduire l’ensemble des prix d’options européennes sur plusieurs prix d’exercice et échéances lorsqu’il est calibré sur une surface suffisamment lisse et sans arbitrage.

Le modèle est complet dans son cadre de diffusion idéalisé et est utile pour évaluer les sinistres dépendant de la trajectoire et pour calculer les couvertures compatibles avec la surface vanille d’aujourd’hui. L’ajustement exact aujourd’hui ne signifie pas qu’il prédit la surface de volatilité implicite de demain. Sa dynamique future de sourire est imposée par la fonction déterministe et peut différer sensiblement des marchés observés.

Mécanique d’étalonnage de Dupire

Soit C(K,T) le prix initial d’un call européen de prix d’exercice K et d’échéance T, avec un taux r et un rendement du dividende q constants à titre d’illustration. L’équation forward de Dupire donne :

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].

Le prix d’exercice courbure ∂²_KK C est lié à la densité terminale sans risque. Il faut donc que les prix des options d’achat diminuent et restent convexes dans les prix d’exercice, et que les relations calendaires soient cohérentes pour que la formule ait un sens. En pratique, les bureaux nettoient d’abord les cotations, convertissent les taux et les dividendes en contrats à terme et en facteurs d’actualisation, ajustent une surface lisse contrôlée par l’arbitrage, la différencient, puis interpolent ou extrapolent la grille de volatilité locale.

Un σ_loc(K,T) calibré n’est pas simplement la volatilité implicite cotée pour ce prix d’exercice et cette échéance. La volatilité implicite est un paramètre constant de Black-Scholes qui reproduit le prix d’une option particulière ; la volatilité locale est le coefficient de diffusion instantané dépendant de l’état dont l’évolution engendre les distributions marginales calibrées.

Calcul de Dupire illustratif

À K=$100 et T=1 an, supposons qu’une surface de calls lissée donne C=$8, ∂_T C=10 dollars par an, ∂_K C=-0.45 et ∂²_KK C=0.018 par dollar. Soit r=5% et q=2%. Le numérateur est :

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.

Le dénominateur est 0.5×100²×0.018=90. La variance locale est donc 8.81/90=0.0979 et la volatilité locale est √0.0979=31.3%.

Il s’agit d’une illustration numérique et non d’une estimation de marché. Si un ajustement plus bruité changeait la courbure de 0.018 à 0.012 tandis que les autres entrées restaient fixes, la volatilité déduite augmenterait à √(8.81/60)=38.3%. Cette sensibilité montre pourquoi le filtrage des cotations, le lissage sans arbitrage, la stabilité de la grille et les contrôles hors échantillon sont importants.

Liste de contrôle d’étalonnage et de risque du modèle

Utilisez des cotations d’options exécutables synchronisées, des prix à terme, des facteurs d’actualisation, des dividendes, des conditions contractuelles et des conventions de règlement.
Supprimer les observations croisées, périmées, sans offre et économiquement incohérentes selon des règles documentées.
Appliquer la convexité du prix d’exercice et la monotonie calendaire appropriée avant de prendre des dérivées numériques.
Testez la sensibilité à l’interpolation, aux pénalités de lissage, aux poids de cotation, à l’espacement des grilles, aux conditions aux limites et à l’extrapolation.
Retarifiez toutes les vanilles d’étalonnage et signalez les erreurs en unités de prix exécutables, et pas seulement en points de volatilité implicite.
Comparez le comportement de couverture de volatilité locale avec les alternatives de Black-Scholes et de volatilité stochastique sous chocs ponctuels et souriants.
Stresser les écarts et les sauts. Une diffusion continue ne peut couvrir une discontinuité instantanée.
Traiter la dynamique future des surfaces comme une hypothèse de modèle ; la volatilité locale produit souvent un mouvement de sourire différent de celui du marché.
Soyez prudent avec les barrières et autres réclamations dépendant du chemin dont la valeur dépend de la distribution du chemin modélisé, et pas seulement des prix terminaux vanille.
Recalibrez lorsque la surface change et distinguez les effets du P&L du marché, du carry, de l’erreur de couverture et du recalibrage du modèle.
Eviter d’extrapoler des ailes clairsemées ou des maturités longues sans limites explicites ; les dérivés peuvent amplifier de petites erreurs de saisie.
Inclure la liquidité, les coûts de transaction, la couverture discrète, l’exercise (exercice de l’option par son détenteur) anticipé et les conditions de contrepartie ou de règlement en dehors de l’équation idéalisée.

Idées fausses courantes

“La volatilité locale équivaut à une volatilité implicite à chaque point.” Les deux objets ont des définitions et des usages différents.
“Un calibrage exact prouve que le modèle est vrai.” De nombreux modèles peuvent s’adapter aux prix vanille d’aujourd’hui tout en impliquant des trajectoires et des couvertures différentes.
“La formule Dupire peut être appliquée directement aux cotations brutes.” Cela nécessite des dérivés fluides et des entrées cohérentes avec l’arbitrage.
« Une diffusion complète supprime tout risque. » Des écarts, des couvertures discrètes, des liquidités, des changements de paramètres et des erreurs de modèle subsistent.
“Plus de détails de surface améliorent toujours la précision.” La différenciation peut amplifier les cotations bruyantes et illiquides.
“Le modèle prévoit la volatilité.” Le calibrage extrait une fonction de tarification sans risque ; ce n’est pas une prévision physique.
“Deux modèles correspondant à toutes les vanilles doivent avoir le même prix pour chaque exotique.” Les distributions de chemins et la dynamique future du sourire peuvent différer.
“Une variance locale négative est un signal valide.” Cela indique généralement des données incohérentes, un lissage, des dérivés ou des hypothèses qui nécessitent une enquête.