تسعير الخيارات بالفروق المحدودة: الإشارات والاستقرار والقيود والتقارب

أنشئ محلل خيارات بالفروق المحدودة قابلا للمراجعة، مع إشارات زمنية صحيحة، ومؤثرات متقطعة، وشروط حدود وأحداث، وتكامل أمريكي، وتخميد، وتقارب للسعر والحساسيات.

لأغراض تعليمية فقط؛ لا يشكل ذلك نصيحة استثمارية أو توصية استثمارية. قد تؤدي الاستثمارات إلى خسائر.

الإجابة المباشرة

يستبدل تسعير الخيارات بالفروق المحدودة معادلة التقييم المستمرة بعقد للسعر والزمن. ويتطلب التنفيذ الصحيح أكثر من شبكة دقيقة: يجب أن تتسق إشارات زمن التقويم والزمن المتبقي إلى الاستحقاق، والمؤثر المكاني، وشروط النهاية والحدود، وقفزات الأحداث، والمخطط الزمني، ومحلل قيد الممارسة الأمريكية، والمتبقيات، وضوابط التقارب.

لا يعالج تنقيح الشبكة إلا الخطأ العددي. فلا يمكنه تصحيح عائد تعاقدي أو نموذج عشوائي أو معالجة توزيعات أو مطالبة تسوية أو مدخل سوق أو افتراض تنفيذ خاطئ. وقد يتقارب المحلل بدقة إلى إجابة خاطئة.

اشتق الشبكة قبل برمجتها

ثبّت المطالبة والعائد Phi(S) ونمط الممارسة والتسوية والمعدلات والاقتراض والتوزيعات ونموذج التقلب والإحداثيات. مع زمن التقويم t تكون معادلة Black-Scholes هي V_t + L V = 0؛ ومع الزمن المتبقي إلى الاستحقاق tau = T - t تصبح V_tau = L V، بدءا من V(S, 0) = Phi(S).
اختر شبكة للسعر أو لوغاريتم السعر، ومجالا مقتطعا، وشبكة زمنية، ومحاذاة للسعر الفوري وسعر الممارسة والحواجز والتوزيعات والمشاهدات. بيّن ما إذا كان N يعد الفواصل أم العقد، واختبر S_max بصورة منفصلة عن Delta S.
على الشبكة المنتظمة S_i = i Delta S، اشتق a_i = 0.5[sigma^2 i^2 - (r - q)i] وb_i = -(sigma^2 i^2 + r) وc_i = 0.5[sigma^2 i^2 + (r - q)i]، بحيث يكون (L_h V)_i = a_i V_(i-1) + b_i V_i + c_i V_(i+1).
عرّف الخطوة الزمنية بدقة: الصريح V^(n+1) = (I + Delta tau L_h)V^n؛ والضمني (I - Delta tau L_h)V^(n+1) = V^n؛ وCrank-Nicolson (I - 0.5 Delta tau L_h)V^(n+1) = (I + 0.5 Delta tau L_h)V^n. أدرج حدود المجال في الطرف الأيمن والطبقة الزمنية الصحيحين.
افحص إشارات المعاملات على الشبكة كلها، والقيود الشبيهة بـCFL، والإيجابية، والرتابة، وخصائص المصفوفة، والتذبذبات. يكون مخططا Euler الصريح والخلفي عادة من الرتبة الأولى زمنيا؛ والمخطط الضمني أشد تبديدا، وليس أقل دقة على نحو عام. ولا يضمن الاستقرار الخطي لـCrank-Nicolson الرتابة أو خلو الناتج من التذبذب عند انكسار العائد. وثّق تخميد Rannacher حول كل انقطاع يستخدم عنده.
للممارسة الأمريكية، استخدم طريقة مسماة لحل مسألة التكامل الخطي المتقطعة، مثل PSOR أو العقوبة أو تقسيم المؤثر الموثق. اشترط V - Phi >= 0 وA V - b >= 0 و(V - Phi) elementwise_times (A V - b) = 0؛ وأفصح عن معامل الاسترخاء والحد الأقصى للتكرارات ومتبقي التكامل.
استوف السعر والحساسيات عند السعر الفوري، ثم نقّح المجال والمكان والزمن ومحاذاة الأحداث وتسامح المحلل. قارن الحالات الأوروبية بصيغة مغلقة والحالات الأمريكية بشجرة عميقة أو محلل مستقل، وسجل السعر وDelta وGamma وحد الممارسة الحرة واختبارات غياب المراجحة والمتبقيات.

تنتمي الحدود إلى العقد نفسه. في ظل الافتراضات القياسية، يمكن لـPut أوروبي استخدام V(0, tau) = K exp(-r tau) ويتجه إلى الصفر مع نمو S، بينما يستخدم Put أمريكي عادة V(0, tau) = K. ولـCall أوروبي يدفع أصله توزيعات سلوك تقاربي مختلف عند السعر المرتفع. وتتطلب التوزيعات النقدية المتقطعة قفزة واستيفاء، مثل V(S, t-) = V(max(S - D, 0), t+)، يتبعهما أي قرار ممارسة بالترتيب الصحيح.

قد تنتج الفروق المركزية معامل حمل سالبا حتى عندما تكون الخطوة الزمنية صغيرة؛ وقد يلزم مخطط عكس اتجاه الجريان أو ملائم أو يعتمد لوغاريتم السعر. كما أن معادلة الانتشار التفاضلية لا تكتسب قفزات السعر تلقائيا. ويجب الفصل بين أخطاء النموذج والمعلمات والمعايرة والأخطاء العددية وأخطاء السعر القابل للتنفيذ.

أربعة أمثلة محلولة

تتغير إشارة الزمن بتغير الساعة. من V_t + L V = 0 وtau = T - t تعطي قاعدة السلسلة V_tau = L V. لذلك فإن التحرك من العائد عند tau = 0 نحو tau أكبر يستخدم المؤثر الموجب L؛ أما نسخ إشارة الرجوع في زمن التقويم فيحل مسألة مختلفة.
قد تبدو عقدة آمنة محليا. افترض sigma = 25% وr = 4% وq = 0 وi = 95 وDelta tau = 0.0005. عندئذ a_i = 280.13125 وb_i = -564.1025 وc_i = 283.93125؛ وأوزان المخطط الصريح هي 0.140065625 و0.71794875 و0.141965625، ومجموعها 0.99998. وتحدّث قيم الجيران 6, 5, 4 إلى 4.998. في Put أمريكي قيده 5، يحتفظ الإسقاط الصريح بـ5؛ أما النظام الضمني أو Crank-Nicolson فيظل محتاجا إلى متبقي مسألة التكامل المقترنة.
القيد شامل للشبكة. مع المدخلات نفسها عند i = 200، تكون الأوزان الصريحة 0.623 و-0.25002 و0.627؛ فيهدم وزن المركز السالب الرتابة رغم أن العقدة القريبة من السعر الفوري بدت مقبولة. ويعطي خفض الخطوة إلى Delta tau = 0.0002 الأوزان 0.2492 و0.499992 و0.2508، وهي غير سالبة ومجموعها 0.999992.
يحتاج السعر والحساسيات إلى ضوابط مستقلة. لـPut أوروبي ذي S = $95 وK = $100 وT = 0.5 وsigma = 25% وr = 4% وq = 0، تعطي Black-Scholes القيم d_1 = -0.088633257689 وd_2 = -0.265409952985 والسعر $8.413258404601 وDelta مقدارها -0.535313311861 وGamma مقدارها 0.023662224614. ويجب أن تتقارب الشبكة إلى المخرجات الثلاثة كل على حدة قبل الوثوق بعلاوة الخيار الأمريكي أو حد ممارسته الحرة.

ضوابط الخطوات السبع ومواضع الإخفاق

قد يتحرك زمن التقويم t والزمن المتبقي إلى الاستحقاق tau بإشارتين غير متسقتين.
قد تختلط وحدات اليوم والسنة والمعدل والتقلب والتوزيعات.
قد يبرمج العائد أو نمط الممارسة أو مطالبة التسوية أو طبقة النهاية بصورة خاطئة.
قد تحسب عوائد التوزيع المستمرة والتوزيعات النقدية المتقطعة مرتين أو ترتب خطأ.
قد يكون S_max قريبا جدا حتى عندما تبدو Delta S صغيرة.
قد تنتمي صيغ الحدود عند السعرين المنخفض والمرتفع إلى مطالبة أو افتراضات تمويل مختلفة.
قد تقع التوزيعات أو الحواجز أو التثبيتات أو المشاهدات بين العقد الزمنية وتستوفى على نحو رديء.
قد يخطأ عد العقد والفواصل أو صيغ المشتقات على شبكة غير منتظمة بمقدار واحد.
قد يجعل الانجراف معامل مكان مركزي سالبا ويهدم الرتابة.
قد تخالف الأوزان الصريحة الاستقرار أو الإيجابية على مستوى الشبكة بعيدا عن السعر الفوري.
قد يتذبذب Crank-Nicolson حول انكسارات العائد أو الحواجز أو قفزات الأحداث.
قد يغفل تخميد Rannacher أو غيره، أو يطبق عند أحداث خاطئة، أو يترك بلا توثيق.
قد تكون متبقيات النظام الخطي كبيرة رغم نعومة السطح بصريا.
قد يكون معامل استرخاء PSOR أو معيار التوقف أو التخمين الابتدائي أو حد التكرارات غير مستقر.
قد يظن أن أخذ الحد الأقصى عقدة بعقدة مرة واحدة يحل بدقة مسألة التكامل الضمنية أو Crank-Nicolson.
قد يحرّف الاستيفاء عند السعر الفوري القيمة أو Delta أو Gamma أو الحد الحر.
قد تظل Gamma وحدود الممارسة مشوشة بعد أن يبدو السعر متقاربا.
قد تستخدم رتبة التقارب المرصودة أو استقراء Richardson خارج النظام الأملس المقارب.
قد يكون الانتشار أو استيفاء التقلب المحلي أو القفزات أو المعلمات أو المعايرة خاطئا بنيويا.
قد تعرض القيمة النظرية على أنها سعر شراء أو بيع أو تحوط أو مراجحة قابلة للتنفيذ.

مفاهيم شائعة خاطئة

“تثبت الشبكة الأدق صحة السعر.” فهي لا تثبت صحة العقد ولا النموذج.
“المخطط الضمني أقل دقة بطبيعته من الصريح.” يكون مخططا Euler عادة من الرتبة الأولى زمنيا، مع اختلاف سلوك الاستقرار والخطأ.
“Crank-Nicolson مستقر بلا شروط، ولذلك فهو رتيب وخال من التذبذب.” هذه خصائص مختلفة.
“القيمة الأمريكية هي حل غير مقيد واحد يتبعه أخذ الحد الأقصى نقطة بنقطة.” تتطلب الأنظمة الضمنية المقترنة طريقة LCP أو تقريبا مقيسا.
“مطابقة سعر سوق واحد تثبت صحة المحلل والحساسيات.” قد تخفي المعايرة وضوضاء السوق أخطاء عددية أو بنيوية.