Model volatilitas lokal: dari harga opsi ke volatilitas yang bergantung pada keadaan

Pahami cara model volatilitas lokal Dupire mengubah permukaan opsi Eropa bebas arbitrase menjadi proses difusi yang bergantung pada keadaan, serta alasan kalibrasi tepat tidak menjamin dinamika senyum yang realistis.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Model volatilitas lokal menjadikan volatilitas sesaat sebagai fungsi deterministik dari harga aset acuan saat ini dan waktu: dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t dalam spesifikasi netral risiko sederhana. Tidak seperti Black-Scholes dengan satu volatilitas konstan, model ini dapat mereproduksi harga opsi Eropa pada berbagai harga pelaksanaan dan jatuh tempo ketika dikalibrasi ke permukaan yang cukup mulus dan bebas arbitrase.

Model ini lengkap dalam pengaturan difusi yang diidealkan dan berguna untuk menentukan harga klaim yang bergantung pada jalur dan menghitung lindung nilai yang konsisten dengan permukaan vanilla saat ini. Kesesuaian yang tepat pada hari ini tidak berarti memprediksi permukaan volatilitas yang tersirat di masa depan. Dinamika senyuman di masa depan ditentukan oleh fungsi deterministik dan dapat berbeda secara material dari pasar yang diamati.

Mekanika kalibrasi dupire

Misalkan C(K,T) adalah harga call Eropa sebagai fungsi dari strike K dan kadaluwarsa T, dengan kurs konstan r dan hasil dividen q sebagai ilustrasi. Persamaan maju Dupire memberikan:

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].

Lengkungan harga pelaksanaan ∂²_KK C terhubung dengan kepadatan terminal netral risiko. Oleh karena itu harga call harus turun dan tetap cembung dalam strike, dan hubungan kalender harus konsisten, sebelum rumus tersebut bermakna. Dalam praktiknya, desk pertama-tama membersihkan kuotasi, mengubah tarif dan dividen menjadi faktor forward dan diskon, menyesuaikan permukaan halus yang dikendalikan arbitrase, membedakannya, dan kemudian menginterpolasi atau mengekstrapolasi jaringan volatilitas lokal.

σ_loc(K,T) yang dikalibrasi bukan sekadar volatilitas yang tersirat pada harga pelaksanaan (strike price) dan jatuh tempo tersebut. volatilitas tersirat adalah salah satu parameter konstan Black-Scholes yang mereproduksi harga opsi tertentu; volatilitas lokal adalah koefisien difusi yang bergantung pada keadaan sesaat yang distribusinya mereproduksi permukaan yang lebih luas.

Ilustrasi perhitungan Dupire

Pada K=$100 dan T=1 tahun, misalkan permukaan call yang dihaluskan menghasilkan C=$8, ∂_T C=10 dolar per tahun, ∂_K C=-0.45, dan ∂²_KK C=0.018 per dolar. Misalkan r=5% dan q=2%. Pembilangnya adalah:

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.

Penyebutnya adalah 0.5×100²×0.018=90. Oleh karena itu, varians lokal adalah 8.81/90=0.0979 dan volatilitas lokal adalah √0.0979=31.3%.

Ini adalah ilustrasi numerik, bukan perkiraan pasar. Jika noise fitting mengubah kelengkungan dari 0.018 menjadi 0.012 sementara input lainnya tetap, maka volatilitas yang disimpulkan akan meningkat menjadi √(8.81/60)=38.3%. Perubahan besar ini menunjukkan pentingnya pemfilteran kuotasi, pemulusan tanpa arbitrase, stabilitas jaringan, dan pemeriksaan di luar sampel.

Daftar periksa kalibrasi dan risiko model

Gunakan kutipan opsi yang dapat dieksekusi, harga forward, faktor diskon, dividen, syarat kontrak, dan konvensi penyelesaian yang tersinkronisasi.
Hapus observasi yang bersilangan, basi, tanpa tawaran, dan tidak konsisten secara ekonomi berdasarkan aturan yang terdokumentasi.
Menerapkan konveksitas harga pelaksanaan dan monotonisitas kalender yang sesuai sebelum mengambil turunan numerik.
Uji sensitivitas terhadap interpolasi, hukuman pemulusan, bobot kutipan, jarak grid, kondisi batas, dan ekstrapolasi.
Harga ulang semua vanilla kalibrasi dan laporkan kesalahan dalam satuan harga yang dapat dieksekusi, bukan hanya titik volatilitas tersirat.
Bandingkan perilaku lindung nilai volatilitas lokal dengan Black-Scholes dan alternatif volatilitas stokastik dalam guncangan spot dan smile.
Kesenjangan dan lompatan stres. Difusi yang terus-menerus tidak dapat membatasi diskontinuitas yang terjadi seketika.
Perlakukan dinamika permukaan masa depan sebagai asumsi model; volatilitas lokal seringkali menghasilkan pergerakan senyuman yang berbeda dari pasar.
Berhati-hatilah dengan hambatan dan klaim yang bergantung pada jalur lainnya yang nilainya bergantung pada distribusi jalur yang dimodelkan, tidak hanya pada harga terminal vanilla.
Kalibrasi ulang ketika permukaan berubah dan bedakan P&L pasar, carry, kesalahan lindung nilai, dan efek kalibrasi ulang model.
Hindari mengekstrapolasi sayap yang jarang atau kematangan yang panjang tanpa batasan yang jelas; turunannya dapat memperbesar kesalahan masukan yang kecil.
Termasuk likuiditas, biaya transaksi, lindung nilai terpisah, pelaksanaan awal opsi oleh pemegang opsi, dan persyaratan pihak lawan atau penyelesaian di luar persamaan yang diidealkan.

Kesalahpahaman umum

“Volabilitas lokal sama dengan volatilitas tersirat di setiap titik.” Kedua benda tersebut mempunyai definisi dan kegunaan yang berbeda.
“Kalibrasi yang tepat membuktikan bahwa model tersebut benar.” Banyak model yang dapat menyesuaikan dengan harga vanilla saat ini sambil menyiratkan jalur dan lindung nilai yang berbeda.
“Rumus Dupire dapat diterapkan langsung ke kutipan mentah.” Hal ini membutuhkan turunan yang lancar dan masukan yang konsisten dengan arbitrase.
“Difusi menyeluruh menghilangkan semua risiko.” Kesenjangan, lindung nilai terpisah, likuiditas, perubahan parameter, dan kesalahan model tetap ada.
“Lebih banyak detail permukaan selalu meningkatkan akurasi.” Diferensiasi dapat memperkuat kutipan yang berisik dan tidak likuid.
“Model memperkirakan volatilitas.” Kalibrasi menghasilkan fungsi penetapan harga yang netral terhadap risiko; ini bukan ramalan fisik.
“Dua model yang cocok dengan semua model vanilla harus memberi harga yang sama pada setiap model eksotik.” Distribusi jalur dan dinamika senyum di masa depan bisa berbeda.
“Varians lokal negatif adalah sinyal yang valid.” Biasanya menunjukkan data yang tidak konsisten, pemulusan, turunan, atau asumsi yang memerlukan penyelidikan.