الانتقال إلى المحتوى
Financial Context Wiki

تقريب دلتا-جاما: الربح والخسارة المحليان والوحدات وإعادة التسعير

قدّر التغيرات المحلية في قيمة الخيار والمحفظة باستخدام دلتا وجاما ذواتي الإشارة وجاما المتقاطعة والوحدات المتوافقة وفحوص الفروق المحدودة وضوابط إعادة التسعير الكاملة.

آخر تحديث

لأغراض تعليمية فقط؛ لا يشكل ذلك نصيحة استثمارية أو توصية استثمارية. قد تؤدي الاستثمارات إلى خسائر.

الإجابة المباشرة

بالنسبة إلى قيمة نموذجية V_i(S, x) عند طابع زمني وحالة نموذج ثابتين، يكون تقريب دلتا-جاما أحادي العامل ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². هنا Delta_i = ∂V_i / ∂S وGamma_i = ∂²V_i / ∂S²، وΔS حركة مطلقة في إحداثي سعر الأصل نفسه المستخدم في المشتقات.

الصيغة تقدير تايلور محلي من الدرجة الثانية لتغير القيمة النموذجية. وهي ليست توقعا أو احتمالا أو ربحا وخسارة قابلين للتنفيذ أو بديلا لإعادة التسعير الكاملة. يتطلب تفسيرها تحديد المطالبة وإشارة المركز والمضاعف والعملة والإحداثي وسطح التقلب والوقت والمعدلات والتوزيعات والاقتراض ونموذج الممارسة والتسوية ومقياس المورّد.

منحنى لقيمة الخيار مع مماس دلتا وتصحيح الانحناء بجاما منحنى لقيمة الخيار مع مماس دلتا وتصحيح الانحناء بجاما
تقدير دلتا-جاما محلي؛ وتضبط إعادة التسعير الكاملة السيناريو المحدود.

دفتر تقريب متسق الإشارات والوحدات

لتكن q_i عقود الخيارات ذات الإشارة، موجبة للمركز الطويل وسالبة للمركز القصير؛ وM_i مضاعف العلاوة المتوافق؛ وh وحدات الأصل ذات الإشارة. للمطالبات على إحداثي سعر واحد متوافق، تكون دلتا المركز D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i، وجاما المركز G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i، وتقدير المركز المحلي ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². يسهم السهم بدلتا +1 لكل وحدة طويلة وجاما 0.

  1. ثبّت كل سلسلة دقيقة وطابع زمني وإشارة مركز وكمية ومضاعف وأصل تسليم وعملة ونمط ممارسة وطريقة تسوية وإحداثي سعر وإصدار نموذج. لا يثبت تشابه الرموز توافق المطالبات.
  2. جمّد حالة النموذج واتفاقية الصدمة: السعر الفوري أو الآجل والمعدلات والتوزيعات والاقتراض والوقت الدقيق حتى الاستحقاق وسطح التقلب وقاعدة ثبات سعر التنفيذ أو ثبات دلتا ومعالجة الأحداث المنفصلة. لا تمثل حركة متزامنة في الوقت أو التقلب سيناريو دلتا-جاما خالصا للسعر الفوري.
  3. وحّد كل رجل إلى مقاييس لكل وحدة متوافقة. ميّز دلتا السعر الفوري عن الآجل والعقود المستقبلية والمعدلة بالعلاوة والنقدية؛ وميّز جاما لكل $1 أو نقطة مؤشر أو نقطة عقد مستقبلي أو 1% spot move؛ وحدد قيم المورّد التي قد تشمل الكمية أو المضاعف بالفعل.
  4. اجمع باستخدام q_i × M_i بإشارته، ثم أضف تحوط الأصل منفصلا. لا تصفِّ عملات أو إحداثيات أو آجالا أو أنواع تسوية أو أسطحا معايرة بصورة مستقلة وغير متشابهة لمجرد أن لوحة المعلومات تعرض رقما واحدا.
  5. لعدة عوامل خطر x، استخدم صيغة التدرج ومصفوفة هسيان ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. في مصفوفة هسيان متماثلة، يُحتسب الزوج خارج القطر مرتين داخل الصيغة التربيعية، ولذلك تكون مساهمته المبسطة Gamma_AB × ΔA × ΔB، لا صفرا ولا ضعف ذلك المبلغ مرة أخرى.
  6. تحقق من مقاييس النموذج الأملس بصدمات مركزية: Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) وGamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². غيّر ε لكشف آثار القطع والإلغاء والشبكة وإعادة معايرة السطح.
  7. أعد تسعير كل رجل بالكامل للسيناريوهات المحدودة وطابق المتبقي. وللتداول، استبدل القيم النموذجية بأسعار العرض والطلب القابلة للتنفيذ وأدرج التنفيذات والرسوم وانزلاق التحوط والاقتراض والتوزيعات والتعيين والممارسة والتدفقات النقدية للتسوية والضرائب والمقاييس بعد الصدمة.

لا تصح إضافة Vega × ΔIV أو Theta × Δt إلا بعد تعريف وحدات التقلب والوقت واتجاه مشتقة الوقت. وقد يظل ذلك يغفل فانا وفوما وتشارم وإعادة تشكيل الانحراف والحدود المتقاطعة والرتب الأعلى. لا يساعد تقسيم الصدمة الكبيرة إلى خطوات إلا إذا حُدّثت الحالة كلها والمقاييس؛ ويبقى تقريبا وقد يصبح معتمدا على المسار.

أمثلة محلولة

  • خيار شراء واحد مقابل إعادة التسعير الكاملة. لخيار شراء أوروبي قيم S = 100 وK = 100 وr = 4% وعائد مستمر y = 1% وσ = 25% وτ = 0.5. يعطي معيار بلاك-شولز V_0 = 7.7215522303 وDelta_i = 0.5659323171 وGamma_i = 0.0221205770. عند ΔS = +5، يكون حد دلتا 2.8296615855 وحد جاما 0.2765072125 والتقدير ΔV_DG = 3.1061687980، فتكون القيمة المقدرة 10.8277210283. تعطي إعادة التسعير الكاملة مع ثبات التقلب الضمني V_1 = 10.8172471731، وتغيرا 3.0956949428، ومتبقيا full − DG = −0.0104738552 لكل سهم أو −$1.047386 لكل M = 100. إذا كان التقلب الضمني النهائي 30% بدلا من ذلك، فالقيمة الكاملة 12.1628459929 والتغير الكلي 4.4412937626؛ ويغفل تقدير السعر الفوري الأصلي وحده 1.3351249646 من تغير الحالة والتفاعل.
  • مركز قصير بإشارة. لستة خيارات شراء قصيرة q = −6 وM = 100 وDelta_i = 0.55 وGamma_i = 0.04، ولذلك D_pos = −330 shares وG_pos = −24 shares per $1. عند ΔS = +2، يكون حدا دلتا وجاما −$660 و−$48 والمجموع −$708، ودلتا المحدثة نحو −378 shares. وعند ΔS = −2، يكونان +$660 و−$48 والمجموع +$612، ودلتا المحدثة نحو −282 shares. تجعل جاما السالبة مساهمة الانحناء سالبة في الاتجاهين؛ ولا تجعل الربح والخسارة الكليين متماثلين.
  • خيارات مع تحوط بالأسهم. احتفظ بأربعة خيارات شراء بقيمتي Delta_i = 0.35 وGamma_i = 0.025، وبع ثلاثة خيارات بيع على المكشوف بقيمتي Delta_i = −0.40 وGamma_i = 0.030، واستخدم M = 100، وبع 200 shares على المكشوف. دلتا الخيارات +140 + 120 = +260 shares؛ وصافي D_pos = +60 shares. جاما +10 − 9 = +1 share per $1. عند ΔS = +5، يكون تقدير المركز 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50، ودلتا المحدثة نحو +65 shares. إسناد الأرجل هو +$825.00 من خيارات الشراء و+$487.50 من خيارات البيع و−$1,000 من السهم، وهو ما يطابق +$312.50.
  • جاما متقاطعة لعاملين. افترض ΔA = +2 وΔB = −3 وDelta_A = 120 وDelta_B = −80 وGamma_AA = 4 وGamma_BB = 2، وجاما متماثلة Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5، وكلها بالفعل بوحدات مركز وعملة متوافقة. الحد الخطي 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480؛ والانحناء القطري ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17؛ والحد المتقاطع المبسط 1.5 × 2 × (−3) = −9. المجموع 488. يعطي إغفال جاما المتقاطعة 497؛ ويعطي ضرب الحد المتقاطع المبسط في اثنين مرة أخرى 479.

المخاطر والضوابط

  • تؤدي السلسلة أو الرمز أو الاستحقاق أو سعر التنفيذ أو نوع الخيار أو أصل التسليم الخطأ إلى إبطال التقريب.
  • يؤدي إغفال إشارة المركز إلى عكس دلتا وجاما واتجاه التحوط والإسناد.
  • قد يتكرر احتساب عدد العقود ومضاعف العلاوة أو يُغفلان.
  • قد تستخدم العقود المعدلة وخيارات العقود المستقبلية ومقاييس المورّد المجمعة وحدات غير معيارية.
  • لا يمكن تبادل إحداثيات السعر الفوري والآجل والعقود المستقبلية ولوغاريتم السعر والمعدلة بالعلاوة والنقدية.
  • تختلف صدمة السعر المطلقة عن صدمة النسبة المئوية أو الانحراف المعياري.
  • قد تجعل العملة وتحويل الصرف المقاييس التي تبدو قابلة للمقارنة غير متسقة.
  • تنشئ الطوابع الزمنية المختلفة أو قيم الأصل والسطح والخيار القديمة مقاصة وهمية.
  • تغير قواعد ثبات سعر التنفيذ وثبات دلتا والانحراف وهيكل الآجال الحساسية المقيسة.
  • تؤثر المعدلات والتوزيعات والاقتراض والتمويل والوقت الدقيق للاستحقاق في القيم والمقاييس.
  • قد تكون لحدود الوقت والتقلب إشارات متعاكسة أو عوامل 100 باختلاف وحدات المورّد.
  • تنشئ الممارسة الأمريكية والتوزيعات المنفصلة حدودا غير موجودة في صيغة أوروبية ملساء.
  • قد تكون جاما للمطالبات الرقمية والحاجزية وغيرها من المطالبات غير المستمرة غير مستقرة أو شبيهة بتوزيع.
  • قرب الاستحقاق، قد تصبح جاما والفروق المحدودة شديدتي الاعتماد على سعر التنفيذ والشبكة.
  • تكشف الصدمات الكبيرة رتب الثالثة وما فوق التي تغفلها المقاييس الابتدائية الثابتة.
  • تتجاوز القفزات والفجوات ووقف التداول افتراضات إعادة الموازنة المحلية المستمرة.
  • قد تُغفل جاما المتقاطعة والارتباط وخريطة العوامل أو تُحتسب مرتين في دفاتر الأصول المتعددة.
  • تضيف صدمات الفروق المحدودة الكبيرة جدا خطأ قطع؛ وتضيف الصغيرة جدا ضوضاء إلغاء.
  • لا تضمن القيم والمقاييس النموذجية سعرا أو حجما أو سيولة تحوط قابلة للتنفيذ.
  • تتطلب التحوطات الديناميكية والرسوم وأثر السوق والاقتراض والتعيين والتسوية وإصدارات النموذج وسجلات الوسيط مطابقة نهائية.

مفاهيم خاطئة شائعة

  • “حد جاما هو Gamma_i × (ΔS)².” معامل تايلور هو ½.
  • “تضمن جاما الموجبة ربحا في أي اتجاه.” إنها تحسن القيمة نسبة إلى المماس محليا؛ لكن دلتا والعلاوة والوقت والتقلب والتكاليف والمسار تظل مؤثرة.
  • “المحايد لدلتا خال من المخاطر.” إنه يزيل حدا واحدا حاليا من الدرجة الأولى، لا جاما أو فيجا أو ثيتا أو القفزات أو الأساس أو السيولة أو مخاطر النموذج.
  • “تكمل إضافة أي فيجا وثيتا معروضتين تقدير الربح والخسارة.” يجب أن تتطابق أيضا الوحدات واتجاه المشتقة والحساسيات المتقاطعة وتغيرات السطح والرتب الأعلى.
  • “تغني المقاييس الدقيقة أو الخطوات الصغيرة المتكررة عن إعادة التسعير الكاملة.” إنها تحسن الإسناد، لكن السيناريوهات المحدودة والتنفيذ وأحداث دورة الحياة ما زالت تتطلب تقييما ومطابقة كاملين.

موضوعات ذات صلة

مصادر موثوقة

التنقل

ابحث في الويكي...