แบบจำลอง Local Volatility: จากราคาออปชัน พื้นผิวไปจนถึงความผันผวนที่ขึ้นอยู่กับรัฐ

ทำความเข้าใจว่าแบบจำลองความผันผวนเฉพาะที่แปลงพื้นผิว ออปชัน ที่สอดคล้องกันในการเก็งกำไรให้เป็นฟังก์ชันความผันผวนที่กำหนดได้อย่างไร สมการของ Dupire ทำงานอย่างไร และเหตุใดการสอบเทียบที่แน่นอนจึงไม่รับประกันไดนามิกในอนาคตที่สมจริง

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

แบบจำลองความผันผวนเฉพาะที่ (Local Volatility Model) กำหนดให้ความผันผวน ณ ขณะหนึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงกำหนดของระดับราคาสินทรัพย์อ้างอิงและเวลา: dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t ภายใต้สมมติฐานแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงอย่างง่าย ต่างจาก Black-Scholes ที่ใช้ค่าความผันผวนคงที่เพียงค่าเดียว แบบจำลองนี้สามารถสร้างราคาออปชันยุโรปตลอดหลายราคาใช้สิทธิและวันหมดอายุได้ เมื่อปรับเทียบกับพื้นผิวราคาที่เรียบเพียงพอและไม่เปิดโอกาสให้อาร์บิทราจ

ในกรอบกระบวนการแพร่แบบอุดมคติ แบบจำลองถือว่าเป็นตลาดสมบูรณ์ และมีประโยชน์ต่อการกำหนดราคาสิทธิเรียกร้องที่ขึ้นกับเส้นทาง รวมถึงการคำนวณการป้องกันความเสี่ยงให้สอดคล้องกับพื้นผิวราคา Vanilla Option ในปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม การปรับราคาได้ตรงในวันนี้ไม่ได้แปลว่าจะพยากรณ์พื้นผิวความผันผวนโดยนัยของวันพรุ่งนี้ได้ พลวัตของ Volatility Smile ในอนาคตถูกกำหนดโดยฟังก์ชันของแบบจำลองและอาจต่างจากตลาดจริงอย่างมาก

กลไกการสอบเทียบ Dupire

ให้ C(K,T) เป็นราคาคอลออปชันยุโรปในรูปฟังก์ชันของราคาใช้สิทธิ K และอายุคงเหลือ T โดยสมมติอัตราดอกเบี้ย r และอัตราผลตอบแทนเงินปันผล q คงที่ สมการ Forward ของ Dupire ให้ว่า:

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].

ความโค้งตามราคาใช้สิทธิ ∂²_KK C เชื่อมโยงกับความหนาแน่นปลายงวดแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง ดังนั้นราคาคอลต้องลดลงและมีความโค้งนูนเมื่อราคาใช้สิทธิเพิ่มขึ้น อีกทั้งความสัมพันธ์ระหว่างวันหมดอายุต้องสอดคล้องกัน สูตรจึงจะมีความหมาย ในทางปฏิบัติ ฝ่ายซื้อขายต้องคัดกรองราคาเสนอ แปลงอัตราดอกเบี้ยและเงินปันผลเป็นราคา Forward และปัจจัยคิดลด สร้างพื้นผิวเรียบภายใต้ข้อจำกัดไม่มีอาร์บิทราจ หาอนุพันธ์ แล้วจึงทำ Interpolation หรือ Extrapolation บนกริดความผันผวนเฉพาะที่

ค่า σ_loc(K,T) ที่ปรับเทียบแล้วไม่ใช่เพียงความผันผวนโดยนัยที่เสนอ ณ ราคาใช้สิทธิและวันครบกำหนดนั้น ความผันผวนโดยนัยคือพารามิเตอร์คงที่ค่าเดียวใน Black-Scholes ที่ทำให้ได้ราคาออปชันหนึ่งสัญญา ส่วนความผันผวนเฉพาะที่คือสัมประสิทธิ์การแพร่ ณ ขณะหนึ่งซึ่งขึ้นกับสถานะ และการกระจายที่เกิดขึ้นต้องสร้างพื้นผิวราคาโดยรวมได้

การคำนวณ Dupire แบบภาพประกอบ

ที่ K=$100 และ T=1 ปี สมมติว่าพื้นผิวราคาคอลที่ปรับให้เรียบแล้วให้ C=$8, ∂_T C=10 ดอลลาร์ต่อปี, ∂_K C=-0.45 และ ∂²_KK C=0.018 ต่อดอลลาร์ โดยให้ r=5% และ q=2% ตัวเศษคือ:

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.

ตัวส่วนคือ 0.5×100²×0.018=90 ดังนั้นความแปรปรวนเฉพาะที่เท่ากับ 8.81/90=0.0979 และความผันผวนเฉพาะที่เท่ากับ √0.0979=31.3%.

ตัวเลขนี้มีไว้เพื่อสาธิต ไม่ใช่ประมาณการตลาด หากการฟิตข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวนทำให้ค่าความโค้งเปลี่ยนจาก 0.018 เป็น 0.012 โดยอินพุตอื่นคงเดิม ความผันผวนที่อนุมานจะเพิ่มเป็น √(8.81/60)=38.3% ความเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่นี้แสดงให้เห็นความสำคัญของการคัดกรองราคาเสนอ การปรับพื้นผิวให้เรียบภายใต้เงื่อนไขไม่มีอาร์บิทราจ ความเสถียรของกริด และการทดสอบนอกกลุ่มตัวอย่าง

รายการตรวจสอบการสอบเทียบและความเสี่ยงของแบบจำลอง

ใช้ราคาเสนอออปชันที่ซื้อขายได้จริงและมีเวลาอ้างอิงตรงกัน พร้อมราคา Forward ปัจจัยคิดลด เงินปันผล เงื่อนไขสัญญา และวิธีชำระราคา
ตัดข้อมูลที่ Bid สูงกว่า Ask ข้อมูลเก่า สัญญาที่ Bid เป็นศูนย์ และข้อมูลที่ไม่สมเหตุผลทางเศรษฐกิจตามกฎที่บันทึกไว้
บังคับเงื่อนไขความโค้งนูนตามราคาใช้สิทธิและความเป็นเอกทิศตามปฏิทินที่เหมาะสม ก่อนหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข
ทดสอบความไวต่อวิธี Interpolation ค่าปรับความเรียบ น้ำหนักราคาเสนอ ระยะกริด เงื่อนไขขอบเขต และการทำ Extrapolation
นำ Vanilla Option ทุกสัญญาที่ใช้ปรับเทียบกลับมากำหนดราคาใหม่ และรายงานความคลาดเคลื่อนเป็นหน่วยราคาที่ซื้อขายได้จริง ไม่ใช่เฉพาะจุดความผันผวนโดยนัย
เปรียบเทียบพฤติกรรมการป้องกันความเสี่ยงของ Local Volatility กับ Black-Scholes และ Stochastic Volatility ภายใต้แรงกระแทกของราคา Spot และ Volatility Smile
ทดสอบภาวะกดดันจาก Gap และ Jump เพราะกระบวนการแพร่แบบต่อเนื่องไม่สามารถป้องกันความไม่ต่อเนื่องฉับพลันได้
ถือว่าพลวัตของพื้นผิวในอนาคตเป็นสมมติฐานของแบบจำลอง เพราะ Local Volatility มักสร้างการเคลื่อนไหวของ Smile ต่างจากตลาด
ระวัง Barrier Option และสิทธิเรียกร้องที่ขึ้นกับเส้นทางอื่น เนื่องจากมูลค่าขึ้นกับการกระจายของเส้นทางในแบบจำลอง ไม่ใช่เฉพาะราคา Vanilla ณ ปลายงวด
ปรับเทียบใหม่เมื่อพื้นผิวเปลี่ยน และแยก P&L จากตลาด, Carry, ความคลาดเคลื่อนในการป้องกันความเสี่ยง และผลจากการปรับเทียบแบบจำลองใหม่
หลีกเลี่ยงการทำ Extrapolation บริเวณ Wing ที่มีข้อมูลเบาบางหรืออายุยาวโดยไม่มีขอบเขตชัดเจน เพราะการหาอนุพันธ์อาจขยายความคลาดเคลื่อนเล็กน้อยของอินพุต
รวมสภาพคล่อง ต้นทุนธุรกรรม การป้องกันความเสี่ยงแบบไม่ต่อเนื่อง การใช้สิทธิก่อนกำหนด และเงื่อนไขคู่สัญญาหรือการชำระราคาที่อยู่นอกสมการอุดมคติ

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“ความผันผวนเฉพาะที่เท่ากับความผันผวนโดยนัยทุกจุด” ไม่จริง เพราะทั้งสองปริมาณมีนิยามและการใช้งานต่างกัน
“ปรับเทียบได้ตรงแปลว่าแบบจำลองถูกต้อง” ไม่จริง แบบจำลองหลายชนิดอาจฟิตราคา Vanilla ในวันนี้ได้ แต่ให้เส้นทางราคาและการป้องกันความเสี่ยงต่างกัน
“ใช้สูตร Dupire กับราคาเสนอดิบได้โดยตรง” สูตรต้องอาศัยอนุพันธ์ของพื้นผิวที่เรียบและอินพุตที่สอดคล้องกับเงื่อนไขไม่มีอาร์บิทราจ
“ตลาดสมบูรณ์ภายใต้กระบวนการแพร่ช่วยขจัดความเสี่ยงทั้งหมด” ความเสี่ยงจาก Gap การป้องกันความเสี่ยงเป็นช่วง สภาพคล่อง การเปลี่ยนพารามิเตอร์ และแบบจำลองยังคงอยู่
“พื้นผิวละเอียดยิ่งขึ้นย่อมแม่นยำขึ้น” การหาอนุพันธ์อาจขยายสัญญาณรบกวนจากราคาเสนอที่ไม่มีสภาพคล่อง
“แบบจำลองพยากรณ์ความผันผวน” การปรับเทียบเพียงสกัดฟังก์ชันกำหนดราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง ไม่ใช่การคาดการณ์ภายใต้ความน่าจะเป็นจริง
“สองแบบจำลองที่ฟิต Vanilla Option ทั้งหมดจะกำหนดราคา Exotic Option เท่ากัน” การกระจายของเส้นทางและพลวัตของ Smile ในอนาคตอาจต่างกัน
“ความแปรปรวนเฉพาะที่ติดลบเป็นสัญญาณที่ใช้ได้” โดยทั่วไปบ่งชี้ว่าข้อมูล การปรับพื้นผิว อนุพันธ์ หรือสมมติฐานไม่สอดคล้องและต้องตรวจสอบ