교육 목적의 자료일 뿐 투자 자문이 아닙니다. 투자에는 손실이 발생할 수 있습니다.
핵심 답변
국소 변동성 모형은 순간 변동성을 현재 기초자산 가격과 시간의 결정론적 함수로 둡니다. 단순한 주식 위험중립 모형에서는 dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t로 표현됩니다. 하나의 상수 변동성을 쓰는 Black-Scholes와 달리, 적절히 보정한 국소 변동성 확산 과정은 현재 여러 행사가격과 만기의 유럽형 옵션 가격을 재현할 수 있습니다.
이 보정 특성은 오늘의 위험중립 주변분포에 관한 것이며 실현 변동성이나 내일의 내재 변동성 곡면에 대한 예측이 아닙니다. 모형은 가격평가와 헤지를 위한 내부적으로 일관된 경로 과정을 하나 제공하지만, 결정론적 상태 의존성 때문에 시장 관측과 다른 미래 스마일 움직임을 만들 수 있습니다.
Dupire 보정 원리
행사가격이 K이고 만기가 T인 유럽형 콜옵션의 시점 영 가격을 C(K,T)라고 하겠습니다. 연속복리 금리 r과 연속 배당수익률 q가 일정하면, 분모가 양수인 곳에서 Dupire 전방 방정식은 다음을 뜻합니다.
σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].
곡률 ∂²_KK C는 할인된 위험중립 만기 밀도에 비례합니다. 따라서 콜 가격은 행사가격에 따라 감소하고 볼록해야 하며, 만기별 단면은 보유비용을 조정한 적절한 캘린더 제약을 충족해야 합니다. 호가가 드물거나 서로 일관되지 않으면 추정 분산이 불안정하거나 음수가 될 수 있습니다.
실무 보정은 보통 시점을 맞춘 옵션 호가, 할인계수, 선도가격, 배당, 계약 조건에서 시작합니다. 정적 무차익 제약 아래 매끄러운 곡면을 적합한 뒤 미분합니다. 이렇게 얻은 국소 변동성 격자를 보간하고 범위를 제한한 다음, 보정 대상 옵션을 재평가해 결과를 점검합니다.
국소 변동성은 같은 행사가격과 만기에 표시된 내재 변동성과 같지 않습니다. 내재 변동성은 옵션 가격 하나에 맞춘 Black-Scholes의 상수 입력값이고, 국소 변동성은 그 진화가 보정된 주변분포 전체를 생성하는 순간 확산계수입니다.
Dupire 계산 예시
K=$100, T=1년인 지점에서 평활화된 콜 곡면이 C=$8, 연간 ∂_T C=10달러, ∂_K C=-0.45, 달러당 ∂²_KK C=0.018을 준다고 가정하겠습니다. r=5%, q=2%이면 분자는 다음과 같습니다.
10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.
분모는 0.5×100²×0.018=90입니다. 따라서 국소 분산은 8.81/90=0.0979이고 국소 변동성은 √0.0979=31.3%입니다.
이는 수치 예시일 뿐 시장 추정치가 아닙니다. 다른 입력을 고정한 채 잡음이 더 큰 적합으로 곡률이 0.018에서 0.012로 바뀌면 추정 변동성은 √(8.81/60)=38.3%로 상승합니다. 이 민감도는 데이터 정제, 무차익 평활화, 안정적인 미분, 표본 외 검증이 중요한 이유를 보여 줍니다.
보정 및 모형 위험 점검표
- 시점을 맞춘 체결 가능한 호가, 선도가격, 할인계수, 배당, 계약 조건, 결제 관행을 사용합니다.
- 교차 호가, 오래된 호가, 매수호가가 영인 자료, 경제적으로 불일치하는 관측치를 문서화된 규칙으로 제거합니다.
- 미분 전에 행사가격 방향 단조성 및 볼록성과 보유비용 조정 캘린더 제약을 적용합니다.
- 보간, 평활화 벌점, 호가 가중치, 격자 간격, 경계조건, 외삽에 대한 민감도를 시험합니다.
- 모든 보정 대상 바닐라 옵션을 재평가하고 오차를 내재 변동성 포인트뿐 아니라 가격 단위로도 보고합니다.
- 현물 및 스마일 충격에서 Black-Scholes와 확률 변동성 대안의 헤지 움직임을 비교합니다.
- 연속 확산은 순간적 불연속을 헤지할 수 없으므로 점프와 갭을 스트레스 테스트합니다.
- 미래 곡면 동학을 오늘의 적합이 보장하는 결과가 아니라 모형 가정으로 취급합니다.
- 가치가 모형의 경로 법칙에 의존하는 배리어 및 기타 경로 의존 상품은 특히 주의합니다.
- 곡면이 변하면 다시 보정하고 시장 손익, 캐리, 헤지 오차, 재보정 효과를 구분합니다.
- 수치 미분이 작은 입력 오차를 증폭하므로 자료가 드문 윙과 장기 만기의 외삽을 제한합니다.
- 유동성, 거래비용, 이산 헤지, 조기행사, 거래상대방 또는 결제 조건은 별도로 반영합니다.
흔한 오해
- “각 지점의 국소 변동성은 내재 변동성과 같다.” 두 값은 정의가 서로 다른 별개의 대상입니다.
- “정확한 보정은 모형이 참임을 입증한다.” 오늘의 바닐라 가격을 맞추면서도 다른 경로와 헤지를 만드는 모형은 많습니다.
- “Dupire 공식을 원시 호가에 바로 적용할 수 있다.” 매끄러운 미분값과 무차익 입력이 필요합니다.
- “완비된 확산 모형은 모든 위험을 없앤다.” 점프, 이산 헤지, 유동성, 모형 오차는 남습니다.
- “곡면을 더 세밀하게 만들면 항상 정확도가 높아진다.” 미분은 잡음과 비유동적 호가를 증폭할 수 있습니다.
- “모형은 변동성을 예측한다.” 보정은 위험중립 가격함수를 추출할 뿐 현실세계 예측을 하지 않습니다.
- “모든 바닐라를 맞춘 모형은 모든 이색 옵션에 같은 가격을 낸다.” 경로 법칙과 미래 스마일 동학은 다를 수 있습니다.
- “음의 국소 분산은 유효한 시장 신호다.” 대개 데이터, 적합, 미분 또는 가정의 불일치를 나타냅니다.