국소 변동성 모형: 옵션 곡면에서 상태 의존 변동성으로

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

국소 변동성 모형은 순간 변동성을 현재 기초자산 수준과 시간의 결정론적 함수로 둡니다. 단순한 위험중립 표현은 dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t입니다. 하나의 상수 변동성을 쓰는 Black-Scholes와 달리 충분히 매끄럽고 무차익인 입력 곡면이 있으면 행사가와 만기별 유럽형 옵션 가격 전체를 재현할 수 있습니다.

이상적인 연속 확산 설정에서는 완비 모형이며 경로 의존 상품 가격과 현재 바닐라 곡면에 맞는 헤지를 계산하는 데 유용합니다. 그러나 오늘의 정확한 적합이 내일의 IV 곡면을 예측한다는 뜻은 아닙니다. 미래 스마일 동학은 결정 함수가 강제하며 관측 시장과 크게 다를 수 있습니다.

Dupire 보정 원리

C(K,T)를 행사가 K, 만기 T인 유럽형 Call 가격이라 하고 설명을 위해 금리 r과 배당수익률 q를 일정하게 둡니다. Dupire 전진 방정식은:

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].

행사가 곡률 ∂²_KK C는 위험중립 만기 밀도와 관련됩니다. 따라서 Call 가격은 행사가에 따라 감소하고 볼록해야 하며 만기 관계도 일관돼야 합니다. 실무에서는 호가를 정제하고 금리와 배당을 선도가와 할인계수로 바꾸고 무차익 제약이 있는 매끄러운 곡면을 적합한 뒤 미분하여 국소 변동성 격자를 보간하거나 외삽합니다.

보정된 σ_loc(K,T)는 같은 점의 IV 자체가 아닙니다. IV는 한 옵션 가격을 재현하는 Black-Scholes 상수이고, 국소 변동성은 더 넓은 곡면을 재현하는 순간 상태 의존 확산계수입니다.

Dupire 수치 예시

K=$100, T=1년에서 매끄러운 Call 곡면이 C=$8, ∂_T C=10달러/년, ∂_K C=-0.45, ∂²_KK C=0.018/달러를 주고 r=5%, q=2%라고 가정합니다. 분자는:

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.

분모는 0.5×100²×0.018=90이므로 국소 분산은 8.81/90=0.0979, 국소 변동성은 √0.0979=31.3%입니다.

이는 시장 추정이 아닌 계산 예시입니다. 잡음 적합으로 곡률이 0.018에서 0.012로 바뀌고 다른 입력이 같다면 변동성은 √(8.81/60)=38.3%로 상승합니다. 큰 차이는 호가 필터링, 무차익 평활화, 격자 안정성과 표본 외 점검이 중요한 이유를 보여 줍니다.

보정 및 모형 위험 점검

동시점의 체결 가능 옵션 호가, 선도가, 할인계수, 배당, 계약 조건과 결제 규칙을 사용합니다.
교차, 오래된 호가, 0 Bid, 경제적으로 불일치한 관측치를 문서화한 규칙으로 제거합니다.
수치 미분 전에 행사가 볼록성과 적절한 만기 단조성을 강제합니다.
보간, 평활화 벌점, 호가 가중치, 격자 간격, 경계 조건과 외삽 민감도를 시험합니다.
모든 보정 바닐라를 재평가하고 IV 포인트뿐 아니라 체결 가능 가격 단위로 오차를 보고합니다.
현물 및 스마일 충격에서 Black-Scholes, 확률 변동성 대안과 헤지 행동을 비교합니다.
갭을 스트레스 테스트합니다. 연속 확산은 순간 점프를 헤지하지 못합니다.
미래 곡면 동학을 모형 가정으로 취급합니다. 국소 변동성의 스마일 이동은 시장과 다를 수 있습니다.
배리어 등은 만기 바닐라 가격뿐 아니라 모형 경로 분포에 의존합니다.
곡면이 바뀌면 재보정하고 시장 손익, 캐리, 헤지 오차, 재보정 효과를 구분합니다.
데이터가 드문 날개와 장기 외삽을 제한합니다. 미분은 작은 입력 오차를 증폭합니다.
유동성, 거래비용, 이산 헤지, 조기 행사와 결제 조건을 이상적 방정식 밖에서 반영합니다.

흔한 오해

“국소 변동성은 각 점의 IV와 같다.” 정의와 용도가 다릅니다.
“정확한 보정은 모형이 참임을 증명한다.” 오늘 바닐라를 맞춰도 경로와 헤지는 다를 수 있습니다.
“Dupire 공식을 원시 호가에 바로 적용할 수 있다.” 매끄러운 미분과 무차익 입력이 필요합니다.
“완비 확산은 모든 위험을 없앤다.” 갭, 이산 헤지, 유동성, 매개변수 변화와 모형 오차가 남습니다.
“곡면을 더 세밀하게 만들수록 정확하다.” 미분은 잡음과 비유동적 호가를 증폭합니다.
“모형이 변동성을 예측한다.” 위험중립 가격 함수 보정이지 현실 확률 예측이 아닙니다.
“모든 바닐라를 맞춘 모형은 복잡 상품도 같은 가격이다.” 경로와 미래 스마일 동학이 다릅니다.
“음의 국소 분산은 유효 신호다.” 보통 데이터, 평활화, 미분 또는 가정 문제입니다.