Modelo de volatilidad local: de los precios de opciones a la volatilidad dependiente del estado

Entiende cómo el modelo de volatilidad local de Dupire transforma una superficie de opciones europeas sin arbitraje en una difusión dependiente del estado y por qué un ajuste exacto no garantiza una dinámica realista de la sonrisa.

Contenido solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Toda inversión puede generar pérdidas.

Respuesta directa

Un modelo de volatilidad local define la volatilidad instantánea como una función determinista del precio actual del subyacente y del tiempo. En un modelo sencillo de renta variable neutral al riesgo, dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t. A diferencia de Black-Scholes, que usa una sola volatilidad constante, una difusión de volatilidad local bien calibrada puede reproducir los precios actuales de opciones europeas para distintos precios de ejercicio y vencimientos.

Esa propiedad de calibración se refiere a las distribuciones marginales neutrales al riesgo de hoy; no pronostica la volatilidad realizada ni la superficie de volatilidad implícita de mañana. El modelo proporciona un proceso de trayectorias internamente coherente para valorar y cubrir, pero su dependencia determinista del estado puede producir movimientos futuros de la sonrisa distintos de los observados en el mercado.

Mecánica de calibración de Dupire

Sea C(K,T) el precio en el momento cero de una opción de compra europea con precio de ejercicio K y vencimiento T. Con una tasa de capitalización continua r y una rentabilidad por dividendo continua q constantes, la ecuación forward de Dupire implica, donde el denominador sea positivo:

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C].

La curvatura ∂²_KK C es proporcional a la densidad terminal neutral al riesgo descontada. Por tanto, los precios de las opciones de compra deben disminuir y ser convexos respecto del precio de ejercicio, y los cortes por vencimiento deben cumplir las restricciones de calendario ajustadas por el coste de acarreo. Las cotizaciones escasas o incoherentes pueden volver inestable o negativa la varianza inferida.

En producción, la calibración suele comenzar con cotizaciones de opciones sincronizadas, factores de descuento, forwards, dividendos y convenciones contractuales. Se ajusta una superficie suave con controles de arbitraje estático antes de calcular derivadas. Después se interpola y acota la cuadrícula de volatilidad local y se comprueba revalorando las opciones usadas en la calibración.

La volatilidad local no es la volatilidad implícita cotizada para el mismo precio de ejercicio y vencimiento. La volatilidad implícita es el dato constante de Black-Scholes que iguala el precio de una opción; la volatilidad local es un coeficiente instantáneo de difusión cuya evolución genera todo el conjunto de distribuciones marginales calibradas.

Ejemplo numérico de Dupire

En K=$100 y T=1 año, supongamos que una superficie suavizada de opciones de compra da C=$8, ∂_T C=10 dólares por año, ∂_K C=-0.45 y ∂²_KK C=0.018 por dólar. Sean r=5% y q=2%. El numerador es:

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81.

El denominador es 0.5×100²×0.018=90. Por tanto, la varianza local es 8.81/90=0.0979 y la volatilidad local es √0.0979=31.3%.

Es una ilustración numérica, no una estimación de mercado. Si un ajuste con más ruido cambiara la curvatura de 0.018 a 0.012 y mantuviera fijos los demás datos, la volatilidad inferida subiría a √(8.81/60)=38.3%. Esta sensibilidad muestra la importancia de depurar los datos, suavizar sin arbitraje, diferenciar con estabilidad y comprobar fuera de muestra.

Lista de control de calibración y riesgo de modelo

Usa cotizaciones ejecutables sincronizadas, forwards, factores de descuento, dividendos, condiciones contractuales y convenciones de liquidación.
Elimina con reglas documentadas las observaciones cruzadas, obsoletas, sin precio comprador o económicamente incoherentes.
Impón monotonía y convexidad por precio de ejercicio y restricciones de calendario ajustadas por acarreo antes de diferenciar.
Prueba la sensibilidad a la interpolación, penalizaciones de suavizado, ponderaciones, espaciado de la cuadrícula, condiciones de contorno y extrapolación.
Revalora todas las opciones vainilla de calibración y comunica los errores tanto en unidades de precio como en puntos de volatilidad implícita.
Compara la cobertura con Black-Scholes y alternativas de volatilidad estocástica bajo choques del spot y de la sonrisa.
Somete a tensión saltos y brechas, porque una difusión continua no puede cubrir una discontinuidad instantánea.
Trata la dinámica futura de la superficie como un supuesto del modelo, no como un resultado garantizado por el ajuste actual.
Extrema la cautela con barreras y otros productos dependientes de la trayectoria, cuyo valor depende de la ley de trayectorias modelada.
Recalibra cuando cambie la superficie y separa P&L de mercado, acarreo, error de cobertura y efectos de recalibración.
Limita la extrapolación en alas con pocos datos y vencimientos largos, porque las derivadas numéricas amplifican errores pequeños.
Incorpora por separado liquidez, costes de transacción, cobertura discreta, ejercicio anticipado y condiciones de contraparte o liquidación.

Errores frecuentes

«La volatilidad local es igual a la volatilidad implícita en cada punto». Son magnitudes distintas con definiciones diferentes.
«Una calibración exacta demuestra que el modelo es verdadero». Muchos modelos ajustan las opciones vainilla actuales e implican trayectorias y coberturas distintas.
«La fórmula de Dupire puede aplicarse directamente a cotizaciones sin depurar». Requiere derivadas suaves y datos coherentes con la ausencia de arbitraje.
«Una difusión completa elimina todo el riesgo». Persisten los saltos, la cobertura discreta, la liquidez y el error de modelo.
«Más detalle en la superficie siempre mejora la precisión». La diferenciación puede amplificar cotizaciones ruidosas e ilíquidas.
«El modelo pronostica la volatilidad». La calibración extrae una función de valoración neutral al riesgo, no una previsión del mundo real.
«Los modelos que ajustan todas las vainillas deben valorar igual cualquier opción exótica». Sus leyes de trayectorias y dinámicas futuras de la sonrisa pueden diferir.
«Una varianza local negativa es una señal válida del mercado». Suele revelar incoherencias en los datos, el ajuste, las derivadas o los supuestos.