أسعار الأسهم ذات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي: الفرضية والرياضيات والحدود

تعرّف إلى سبب افتراض النماذج الكلاسيكية للخيارات توزيعاً لوغاريتمياً طبيعياً لأسعار الأسهم، والفرق بين العائد البسيط واللوغاريتمي، وحدود الفرضية أمام الذيول الثقيلة والقفزات وتغيّر التقلب.

لأغراض تعليمية فقط؛ لا يشكل ذلك نصيحة استثمارية أو توصية استثمارية. قد تؤدي الاستثمارات إلى خسائر.

الإجابة المباشرة

تفترض نماذج الخيارات الكلاسيكية غالباً أن سعر السهم في المستقبل يتبع توزيعاً لوغاريتمياً طبيعياً، أي إن عائده اللوغاريتمي المركب باستمرار يتبع توزيعاً طبيعياً. لا تفترض هذه النماذج أن السعر نفسه طبيعي التوزيع، ولا أن العائد «لوغاريتمي طبيعي». في ظل الحركة البراونية الهندسية:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]، حيث Z∼N(0,1).

يمثل μ انجراف السعر وفق مقياس الاحتمال المستخدم، وتمثل σ التقلب، وتمثل T الأفق الزمني. يحافظ التحويل الأُسّي على إيجابية الأسعار في النموذج، ويجعل العوائد اللوغاريتمية عبر الفترات قابلة للجمع، ويؤدي إلى صيغ خيارات قابلة للحساب. لكن الأسواق الفعلية لا تحقق الفرضية بدقة؛ إذ تظهر العوائد التواءً وذيولاً ثقيلة وتكتلاً في التقلب وقفزات وتوقفات في التداول وتوزيعات متغيرة. لذلك فاللوغاريتمية الطبيعية معيار واضح، وليست قانوناً للسوق.

آلية التوزيع والتسعير

العائد البسيط هو R=S_T/S_0-1، والعائد اللوغاريتمي هو g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). تتجمع العوائد اللوغاريتمية بالجمع عبر الزمن، بينما تتراكم العوائد البسيطة بالضرب. فالارتفاع من $100 إلى $110 ثم الهبوط إلى $99 يعطي ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. أما جمع +10% و-10% بوصفهما عائدين بسيطين فيوحي خطأً بأن المحصلة صفر.

إذا كان ln S_T∼N(m,v)، كان وسيط السعر e^m، ومتوسطه e^(m+v/2)، ومنواله e^(m-v). توزيع السعر ملتوي إلى اليمين، وحده الأدنى صفر، ولا حد أعلى منتهياً له. ولا يصل السعر في هذا النموذج إلى الصفر تماماً خلال زمن منتهٍ؛ لذلك يجب نمذجة التعثر وغيره من الحالات الامتصاصية بصورة منفصلة.

في المقياس الفعلي، يتطلب اختيار μ افتراض العائد أو تقديره. أما في مقياس بلاك-شولز المحايد للمخاطر، فيصبح انجراف السعر r−q، ومن ثم يكون متوسط العائد اللوغاريتمي (r-q-σ²/2)T. يُستخدم هذا التوزيع لتسعير المطالبات المشروطة في ظل غياب المراجحة، لا للتنبؤ بالتكرارات الفعلية. كما أن ثبات σ يعني تقلباً ضمنياً واحداً لجميع أسعار التنفيذ ذات تاريخ الاستحقاق نفسه، بخلاف انحراف التقلب أو ابتسامته المشاهدين في السوق.

مثال لتوزيع سنة واحدة

لنفترض أن S_0=$100 وأن العائد اللوغاريتمي لسنة واحدة طبيعي بمتوسط 5% وانحراف معياري 20%. يكون وسيط السعر المستقبلي $100e^0.05=$105.13، ومتوسطه $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25، ومنواله $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. لذلك لا يساوي «السعر المتوقع» مركز التوزيع أو قيمته الأكثر ترجيحاً.

وباستخدام Z=-1 وZ=+1 تقريباً للمئينين 16 و 84، نحصل على $100e^(0.05-0.20)=$86.07 و$100e^(0.05+0.20)=$128.40. نطاق السعر بالدولار غير متماثل، مع أن نطاق العائد اللوغاريتمي متماثل.

ويوضح مثال منفصل أهمية تعريف العائد. فالهبوط بنسبة 50% من $100 إلى $50، ثم الارتفاع بنسبة 50%، لا يصل بالسعر إلا إلى $75؛ أي إن العائد البسيط التراكمي -25%. وتتجمع العوائد اللوغاريتمية بدقة إلى ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. والعودة من $50 إلى $100 تتطلب ارتفاعاً بنسبة 100%.

قائمة اختبار ومخاطر النموذج

استخدم بيانات العائد الكلي أو الأسعار المعدلة بصورة صحيحة؛ فقد تولّد تجزئة الأسهم والتوزيعات العادية قفزات زائفة في السلاسل غير المعدلة.
وحّد الطوابع الزمنية والعملات وأوقات إغلاق الأسواق والمشاهدات المفقودة والأيام غير المتداولة قبل حساب العوائد.
صرّح بوضوح إن كنت تستخدم العائد البسيط أم اللوغاريتمي؛ فهما يتقاربان فقط عند التغيرات الصغيرة.
قارن الالتواء التجريبي والتفرطح الزائد ومئينات 1%/5%/95%/99% والمدرجات التكرارية ومخططات Q-Q بمعيار طبيعي.
افحص فترات الهدوء والأزمات منفصلة؛ فمزج أنظمة تقلب متغيرة قد يولّد وحده عوائد غير مشروطة ذات ذيول ثقيلة.
اختبر الاعتماد التسلسلي في العوائد ومربعاتها؛ فتكتل التقلب يخالف فرضية الزيادات المستقلة والثابتة.
لا تطبق مقياس √T آلياً حول إعلانات الأرباح أو الأحداث المجدولة أو الذاكرة الطويلة أو تغير الأنظمة.
افصل المعلمات الفعلية المستخدمة في التنبؤ عن المعلمات المحايدة للمخاطر المستنتجة لأغراض التسعير.
استخدم سطح التقلب الضمني الحالي لتقييم الخيارات عبر أسعار التنفيذ، بدلاً من فرض تقلب واحد عند سعر التعادل على كل العقود.
اختبر تحت الضغط القفزات والتعثر وتوقف التداول وفقدان السيولة وإعادة تسعير التقلب خارج مسار الانتشار السلس.
تحقق من المعلمات وأخطاء التحوط خارج العينة؛ فملاءمة الحالات التاريخية المتطرفة لا تثبت استقرار المستقبل.
في الخيارات المعتمدة على المسار، حاكِ المسارات الوسيطة وخطأ التقسيم الزمني، لا الأسعار النهائية اللوغاريتمية الطبيعية وحدها.

مفاهيم شائعة خاطئة

«عوائد الأسهم لوغاريتمية طبيعية». الصياغة الكلاسيكية هي أن الأسعار لوغاريتمية طبيعية وأن العوائد اللوغاريتمية طبيعية.
«إيجابية أسعار النموذج تثبت واقعيته». الإيجابية لا تمثل التعثر أو القفزات أو الذيول الثقيلة أو أنظمة التقلب.
«متوسط السعر هو السعر الأكثر ترجيحاً». يختلف المتوسط والوسيط والمنوال في التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.
«النطاق المتماثل للعائد اللوغاريتمي متماثل بالدولار». التحويل الأُسّي ينتج نطاقاً سعرياً غير متماثل.
«الاحتمال المحايد للمخاطر هو الاحتمال الفعلي». إنه مقياس الاحتمال المتسق مع التسعير المخصوم الخالي من المراجحة، وغرضه مختلف عن التنبؤ الفعلي.
«التقلب السنوي يساوي دائماً التقلب اليومي مضروباً في √252». يحتاج هذا التحجيم إلى زيادات مستقرة ومستقلة.
«تقلب تاريخي واحد يكفي لتسعير كل خيار». أسعار السوق توحي عادةً بتقلب يختلف باختلاف سعر التنفيذ والاستحقاق.
«ينبغي حذف الأحداث النادرة بوصفها قيماً شاذة». بعد التحقق من البيانات، قد تكون القيم المتطرفة دليلاً أساسياً ضد افتراضات الذيول.
«يكفي أخذ عينات من السعر النهائي اللوغاريتمي الطبيعي لتسعير كل مشتق». تعتمد الخيارات الحاجزية والآسيوية والأمريكية على المسار أو قرار الممارسة.