ローカル・ボラティリティ・モデル：曲面から状態依存ボラティリティへ

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

ローカル・ボラティリティ・モデルは瞬間ボラティリティを現在の原資産水準と時間の決定論的関数にします。単純なリスク中立表現は dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t です。一定ボラティリティの Black-Scholes と異なり、十分に滑らかで無裁定な入力曲面があれば、権利行使価格・満期別の欧州型オプション価格全体を再現できます。

理想的な連続拡散設定では完備モデルであり、経路依存商品を評価し、現在のバニラ曲面と整合するヘッジを計算できます。しかし今日の完全な適合は、明日の IV 曲面を予測することではありません。将来のスマイル動態は決定関数によって固定され、観測市場と大きく異なる場合があります。

Dupire 較正の仕組み

C(K,T) を権利行使価格 K、満期 T の欧州型 Call 価格とし、説明上、金利 r と配当利回り q を一定とします。Dupire の前進方程式は：

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]。

行使価格曲率 ∂²_KK C はリスク中立終値密度に関係します。そのため Call 価格は行使価格とともに低下し凸で、満期間の関係も整合的でなければなりません。実務では気配を清浄化し、金利・配当をフォワードと割引因子へ変換し、無裁定制約付き平滑曲面を当てはめ、微分してローカル・ボラティリティ格子を補間・外挿します。

較正した σ_loc(K,T) は同じ点の IV そのものではありません。IV は一つの価格を再現する Black-Scholes の定数、ローカル・ボラティリティは広い曲面を再現する瞬間的な状態依存拡散係数です。

Dupire の数値例

K=$100、T=1 年で、平滑 Call 曲面から C=$8、∂_T C=10 ドル/年、∂_K C=-0.45、∂²_KK C=0.018/ドルが得られ、r=5%、q=2% とします。分子は：

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81。

分母は 0.5×100²×0.018=90、したがって局所分散は 8.81/90=0.0979、局所ボラティリティは √0.0979=31.3% です。

これは市場推定ではなく計算例です。ノイズにより曲率が 0.018 から 0.012 に変わり、他が同じなら推定値は √(8.81/60)=38.3% になります。この大差は、気配選別、無裁定平滑化、格子安定性、標本外確認の重要性を示します。

較正とモデルリスクの確認

同時点の約定可能気配、フォワード、割引因子、配当、契約条件、決済規約を使います。
クロス、古い気配、ゼロ Bid、経済的に不整合な観測を文書化した規則で除きます。
数値微分前に行使価格凸性と適切な満期単調性を確保します。
補間、平滑化ペナルティ、気配重み、格子間隔、境界条件、外挿の感応度を検証します。
較正対象を再評価し、IV 点だけでなく実行可能な価格単位で誤差を報告します。
スポットとスマイルの衝撃下で Black-Scholes や確率的ボラティリティとのヘッジを比較します。
ギャップを検証します。連続拡散は瞬間的なジャンプをヘッジできません。
将来曲面動態をモデル仮定として扱います。ローカル・ボラティリティのスマイル移動は市場と異なり得ます。
バリアなどの価値は終値だけでなくモデル経路分布に依存します。
曲面変化時に再較正し、市場損益、キャリー、ヘッジ誤差、再較正効果を区別します。
データの少ない翼・長期の外挿を制限します。微分は小さな入力誤差を増幅します。
流動性、取引費用、離散ヘッジ、早期行使、決済条件を方程式外で扱います。

よくある誤解

「局所ボラティリティは各点の IV と同じ。」定義と用途が異なります。
「完全較正はモデルが真実だと証明する。」同じバニラを合わせても経路とヘッジは異なり得ます。
「Dupire 式を生気配に直接使える。」滑らかな微分と無裁定入力が必要です。
「完備拡散ならリスクはない。」ギャップ、離散ヘッジ、流動性、パラメータ変化、モデル誤差が残ります。
「曲面を細かくすれば常に正確になる。」微分はノイズと非流動気配を増幅します。
「モデルはボラティリティを予測する。」リスク中立価格関数の較正であり、現実確率の予報ではありません。
「全バニラを合わせたモデルは複雑商品も同価格になる。」経路と将来スマイル動態が異なります。
「負の局所分散は有効なシグナルだ。」通常はデータ、平滑化、微分、仮定の問題です。