局部波動率模型：從期權曲面到狀態波動率

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

局部波動率模型把瞬時波動率設為目前標的價格與時間的確定函數。簡單風險中性式為 dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t。Black-Scholes 使用單一常數波動率，而局部波動率模型在輸入曲面足夠平滑且滿足無套利條件時，可以重現不同履約價和到期日的整套歐式期權價格。

在理想連續擴散設定中，模型具有完備性，可為路徑依賴合約定價並計算與目前普通期權曲面一致的避險。但今天精確擬合，不代表能預測明天的隱含波動率曲面。未來微笑動態由確定函數強制產生，可能與真實市場明顯不同。

Dupire 校準機制

設 C(K,T) 是履約價 K、到期時間 T 的歐式 Call 價格。為便於說明，假設利率 r 和股息率 q 為常數。Dupire 正向方程為：

σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]。

履約價二階曲率 ∂²_KK C 與風險中性終值密度相關。因此，Call 價格必須隨履約價下降並保持凸性，期限關係也需一致。實務中先清洗報價，將利率和股息轉換為遠期價與折現因子，擬合受無套利約束的平滑曲面，再求導並對局部波動率網格插值或外推。

校準後的 σ_loc(K,T) 不等於螢幕上的隱含波動率。隱含波動率是讓 Black-Scholes 重現單一期權價格的常數參數；局部波動率是透過完整狀態分布重現更廣曲面的瞬時擴散係數。

Dupire 數值範例

在 K=$100、T=1 年處，假設平滑後的 Call 曲面給出 C=$8、∂_T C=10 美元/年、∂_K C=-0.45、∂²_KK C=0.018 每美元。令 r=5%、q=2%，分子為：

10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81。

分母為 0.5×100²×0.018=90，因此局部方差為 8.81/90=0.0979，局部波動率為 √0.0979=31.3%。

這只是數值演示，並非市場估計。若雜訊擬合使曲率從 0.018 變為 0.012，其餘輸入不變，推導波動率會升至 √(8.81/60)=38.3%。巨大差異說明報價篩選、無套利平滑、網格穩定性和樣本外檢查的重要性。

校準與模型風險檢查

使用同步的可成交期權報價、遠期價、折現因子、股息、合約條款和結算口徑。
按明確規則剔除交叉、陳舊、零買價及經濟上不一致的資料。
數值求導前強制履約價凸性和適當的期限單調性。
測試插值、平滑懲罰、報價權重、網格間距、邊界條件和外推敏感度。
對全部校準普通期權重新定價，並以可成交價格單位報告誤差。
在股價和曲面衝擊下，對比局部波動率、Black-Scholes 與隨機波動率的避險行為。
壓力測試跳空；連續擴散無法在瞬時跳躍中完成避險。
把未來曲面動態視為模型假設；局部波動率產生的微笑移動常與市場不同。
障礙等路徑依賴合約取決於模型路徑分布，不能只憑終值普通期權擬合判斷。
曲面變化後重新校準，區分市場損益、持有成本、避險誤差和重校準影響。
對稀疏翼部和長期限制外推；求導會放大微小輸入誤差。
在理想方程之外納入流動性、交易成本、離散避險、提前行權與結算條款。

常見誤區

「局部波動率就是每一點的隱含波動率。」兩者定義和用途不同。
「精確校準證明模型真實。」許多模型都能擬合今天的普通期權，卻產生不同路徑與避險。
「Dupire 公式可直接用於原始報價。」它需要平滑導數和滿足無套利的輸入。
「完備擴散模型消除所有風險。」跳空、離散避險、流動性、參數變化和模型誤差仍存在。
「曲面細節越多越準確。」求導會放大雜訊和不流動報價。
「模型能預測波動率。」校準提取風險中性定價函數，不是現實機率預測。
「兩模型擬合全部普通期權後，複雜期權價格必然相同。」路徑和未來微笑動態可以不同。
「負局部方差是有效訊號。」它通常表示資料、平滑、導數或假設有問題。