Valutazione delle opzioni con albero trinomiale: reticolo a tre stati ed esercizio anticipato

Costruisci un reticolo ricombinante rialzo-centro-ribasso, calibra le probabilità neutrali al rischio e verifica attualizzazione a ritroso, esercizio anticipato e convergenza.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Un albero trinomiale valuta un’opzione su un reticolo discreto di tempo e prezzo, nel quale il sottostante sale, resta a un livello intermedio oppure scende a ogni passo. Dopo aver calibrato le probabilità di transizione neutrali al rischio, calcola i payoff a scadenza e risale al valore odierno attualizzando in ogni nodo il valore ponderato per le probabilità.

Il ramo centrale aggiuntivo offre più gradi di libertà rispetto a un albero binomiale per far coincidere i momenti, allineare i nodi con prezzi di esercizio o barriere e migliorare il comportamento numerico. Ciò non rende automaticamente il prezzo più accurato: parametrizzazione, numero di passi, dividendi, regola di esercizio, trattamento dei bordi e dati di mercato determinano il risultato.

Gli alberi sono particolarmente utili per le opzioni di tipo americano, perché ogni nodo consente di confrontare il valore di continuazione con l’esercizio immediato. I tre prezzi sono stati numerici, non una previsione degli unici prezzi che il titolo assumerà. L’articolo riguarda la valutazione teorica di opzioni semplici su azioni, in particolare opzioni quotate nelle borse statunitensi ed emesse da OCC, con verifica al 2026-08-22; approvazione dell’intermediario, margine del conto e trattamento fiscale e legale dipendono dal prodotto e dalla giurisdizione, quindi occorre confermare i termini vigenti con intermediario, borsa, documenti OCC e consulenti qualificati.

Reticolo e induzione all’indietro

Per un passo di durata Δt, si definiscono i moltiplicatori del prezzo u > m > d e le probabilità pᵤ, pₘ, p_d. Un albero ricombinante è parametrizzato affinché percorsi come rialzo seguito da ribasso tornino a un nodo esistente, mantenendo gestibile il numero di nodi. Qui r e q sono tassi a capitalizzazione continua riferiti al passo.

Le probabilità neutrali al rischio devono soddisfare almeno:

pᵤ + pₘ + p_d = 1

e, con rendimento da dividendi continuo q,

pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).

Ogni specifico schema trinomiale aggiunge condizioni sulla varianza o sui momenti per determinare le tre probabilità e i moltiplicatori; normalizzazione e crescita attesa, da sole, non completano un mercato uniperiodale a tre stati né selezionano un’unica misura neutrale al rischio. Tutte le probabilità devono essere comprese tra zero e uno. Una “probabilità” negativa indica un reticolo non valido o parametri incompatibili, non una previsione negoziabile.

Alla scadenza, imposta V = max(S−K,0) per una Call (opzione call, ossia diritto di acquisto) o max(K−S,0) per una Put (opzione put, ossia diritto di vendita). Ad ogni nodo precedente, il valore di continuazione europeo è

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).

Per un’opzione americana, utilizzare

V = max(V_continue, intrinsic value).

Ripeti fino alla radice. I dividendi in contanti discreti richiedono che l’albero azionario o le transizioni dei nodi riflettano il calo ex dividendo. Le greche possono essere stimate dai nodi vicini, ma l’allineamento della griglia e le differenze finite introducono rumore numerico.

Esempio realizzato in un solo passaggio

Siano S₀ = $100, il prezzo di esercizio della Put K = $105 e il fattore di crescita privo di rischio per un passo R = 1.02. Si usino u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90 e le probabilità seguenti. Sono valori ipotetici, senza dividendi e a scopo didattico, non una calibrazione su un’opzione quotata o su dati di mercato.

pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15.

La loro somma è uno, e la crescita prevista delle azioni lo è

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.

Prezzo finale dell’azione	Payoff della Put `max(105−S,0)`	Payoff ponderato per la probabilità
`$110`	`$0`	`$0`
`$100`	`$5`	`$2.50`
`$90`	`$15`	`$2.25`

Il valore Opzione put europeo è

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.

Per una Put americana, il valore dell’esercizio immediato alla radice è $105 − $100 = $5. Poiché $5 > $4.6569, il modello a un passo sceglie l’esercizio e valuta la Put americana $5.

Come controllo, con le stesse ipotesi europee e senza dividendi, la Call corrispondente paga $5 soltanto nello stato di rialzo; quindi C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157. Ne segue C − P = −$2.9412, uguale a S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.

Verifiche e rischi del modello

Indicare la parametrizzazione esatta dell’albero; “trinomiale” da solo non definisce u, d né le probabilità.
Scartare le probabilità negative e verificare le condizioni di crescita e varianza neutrali al rischio.
Aumentare il numero di passi e documentare la convergenza, anziché affidarsi a un solo reticolo.
Confrontare i risultati europei con Black-Scholes a parità di ipotesi e verificare il valore intrinseco e i limiti di non arbitraggio.
Confrontare i valori americani con quelli europei e analizzare la frontiera di esercizio.
Modellare correttamente dividendi discreti, tassi, costi di prestito, modalità di esercizio, regolamento e rettifiche contrattuali.
Allineare al reticolo prezzi di esercizio, barriere e date dei dividendi rilevanti, quando possibile.
Sottoporre a stress volatilità, numero di passi, discretizzazione temporale e condizioni al contorno.
Separare il valore del modello dai prezzi Bid/Ask eseguibili, dalle commissioni, dallo slippage e dai volumi disponibili.
Usare un’implementazione indipendente o casi di riferimento per rilevare errori di indicizzazione e attualizzazione.

Errori comuni

“I tre rami prevedono rialzo, stabilità e ribasso.” Sono stati numerici calibrati per la valutazione.
“Le probabilità sono frequenze storiche.” Sono pesi neutrali al rischio determinati dal modello.
“Più rami garantiscono precisione.” Un albero trinomiale mal calibrato continua a produrre risultati errati.
“L’esercizio anticipato dell’esempio dimostra che un titolare reale dovrebbe esercitare ora.” La conclusione dipende da un reticolo molto grossolano e da dati omessi.
“Il prezzo del modello è una quotazione equa ed eseguibile.” L’esecuzione dipende da domanda e offerta, spread, scorte e costi.
“La convergenza dimostra che il modello è vero.” Mostra solo stabilità numerica entro le ipotesi, non che queste descrivano il mercato.