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Convessità obbligazionaria: perché la duration non basta

Usa convessità e duration per stimare la sensibilità del prezzo, distinguere misure basate sul rendimento ed effettive, trattare le opzioni incorporate ed evitare errori di unità, scala e shock della curva.

Aggiornato

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

La convessità obbligazionaria misura la curvatura di una relazione specifica tra il prezzo di un’obbligazione e il suo rendimento o una curva di riferimento. La duration fornisce la pendenza di primo ordine; la convessità aggiunge una correzione di secondo ordine. Insieme offrono una stima locale della sensibilità, non una previsione né una misura completa del rendimento.

Per un’obbligazione standard a tasso fisso, priva di opzioni e con flussi promessi positivi, la convessità basata sul rendimento è positiva: a parità di variazione, un calo del rendimento tende ad aumentare il prezzo più, e un rialzo a ridurlo meno, di quanto indichi la sola duration. Le obbligazioni callable, i titoli garantiti da ipoteche e altri strumenti i cui flussi attesi cambiano con i tassi possono mostrare convessità effettiva negativa in alcuni contesti di mercato.

7 anni, cedola annuale 5%, rendimento base 5%.

Repricing esattoStima della durataDurata + convessità
12110181
Confronto interattivo di durata e convessità
-300 bp0 bp+300 bp
Prezzo esatto
US$94,42
Durata modificata
5,79
Convessità
41,9
Errore corretto
US$0,01

Come funziona la regolazione

Per una piccola variazione di un rendimento definito in modo coerente, un’approssimazione comune è:

ΔP / P ≈ -D × Δy + 0.5 × C × (Δy)^2

D è la duration modificata, C la convessità annuale secondo la convenzione mostrata e Δy la variazione del rendimento espressa in forma decimale. Una variazione di 100 punti base è 0.01, non 100. Alcuni fornitori pubblicano convessità monetaria, convessità riscalata o una correzione che incorpora già un fattore; verifica la definizione prima di inserire il dato nella formula.

Il termine di duration è lineare: è negativo quando i rendimenti salgono e positivo quando scendono. Il termine di convessità usa (Δy)^2; la convessità positiva aumenta quindi la stima in entrambe le direzioni, attenuando la perdita stimata al rialzo dei rendimenti e ampliando il guadagno stimato al ribasso.

Per le obbligazioni i cui flussi attesi cambiano con i tassi, usa la convessità effettiva basata su un modello, non un calcolo a flussi fissi:

effective convexity ≈ (P- + P+ - 2P0) / (P0 × (Δy)^2)

Qui P- è il prezzo tel quel modellizzato dopo aver abbassato la curva di riferimento dello shock scelto, P+ è il prezzo tel quel dopo averla alzata della stessa entità e P0 è il prezzo tel quel modellizzato corrente. Le tre valutazioni devono mantenere ipotesi coerenti su spread corretto per le opzioni e volatilità, salvo che il test le modifichi intenzionalmente. La convessità effettiva può variare molto con l’ampiezza dello shock e il contesto dei tassi.

Mantieni coerente il fattore di rischio. Duration e convessità basate sul rendimento descrivono di solito una variazione parallela di un unico rendimento a scadenza con flussi fissi. Le misure effettive in genere sottopongono a shock una curva di riferimento e rivalutano i flussi. Nessuna delle due rileva automaticamente variazioni dello spread creditizio, della pendenza o curvatura della curva, della liquidità, delle attese d’insolvenza o della volatilità delle opzioni.

Esempio realizzato

Supponiamo che un’obbligazione abbia un prezzo tel quel di 100, una duration modificata di 6 e una convessità annuale di 50 secondo la formula precedente.

Se i rendimenti aumentano di 100 punti base:

ΔP / P ≈ -6 × 0.01 + 0.5 × 50 × 0.01^2 = -5.75%

La variazione percentuale stimata è -5.75%, quindi il prezzo tel quel scende a circa 94.25. La sola duration avrebbe stimato -6.00%, ossia 94.00.

Se i rendimenti scendono di 100 punti base:

ΔP / P ≈ +6 × 0.01 + 0.5 × 50 × 0.01^2 = +6.25%

La variazione percentuale stimata è +6.25%, quindi il prezzo tel quel sale a circa 106.25.

Per una variazione di 25 punti base, 0.5 × 50 × 0.0025^2 = 0.015625%, quindi la correzione è circa 0.0156%. Per 200 punti base, 0.5 × 50 × 0.02^2 = 1.00%. Il termine quadratico cresce rapidamente, ma con shock ampi anche l’approssimazione di secondo ordine può perdere precisione; rivaluta direttamente lo strumento quando la decisione è rilevante.

Verifiche pratiche

  • Converti correttamente lo shock: 1 bp = 0.0001, 50 bp = 0.005 e 100 bp = 0.01.
  • Verifica se la duration è di Macaulay, modificata, effettiva, di spread o key rate e se la convessità è basata sul rendimento, effettiva, monetaria o riscalata.
  • Usa la stessa definizione di rendimento, frequenza di capitalizzazione, data di regolamento, trattamento del rateo e convenzione di prezzo tel quel o corso secco in tutti i dati e scenari.
  • Non usare la convessità a flussi fissi per obbligazioni callable, titoli garantiti da ipoteche o strumenti con rimborso anticipato, estensione, put, conversione o altra dipendenza dal percorso rilevante.
  • Per le misure effettive, documenta shock e ampiezza della curva, modello di pricing, spread corretto per le opzioni, volatilità e ipotesi sui flussi.
  • Separa il rischio del tasso di riferimento dai rischi di spread creditizio, insolvenza, liquidità, cambio e inflazione; più fattori possono muoversi insieme.
  • Verifica i movimenti non paralleli con misure key rate o rivalutazione diretta per scenario, anziché affidarti solo a una coppia aggregata di duration e convessità.
  • Per un portafoglio, controlla la compatibilità di pesi di mercato, valute, coperture, derivati e definizioni prima di aggregare i valori dei singoli titoli.
  • Confronta l’approssimazione con la rivalutazione diretta per shock ampi, posizioni concentrate, portafogli con leva o strumenti vicini alla soglia di esercizio di un’opzione.
  • Una maggiore convessità positiva ha di solito un prezzo economico: rendimento più basso, prezzo di mercato più alto o liquidità e opzionalità diverse.

Errori comuni

“La convessità positiva impedisce le perdite quando i tassi salgono.” Rende soltanto la risposta locale più favorevole della tangente della duration. L’effetto negativo della duration, l’ampliamento degli spread, l’insolvenza o una vendita forzata possono comunque produrre perdite.

“La convessità sostituisce la duration.” La duration resta la sensibilità di primo ordine e la convessità corregge la curvatura. Entrambe dipendono dal fattore di rischio e dalle ipotesi scelti.

“I punti base possono essere inseriti direttamente nella formula.” Usare 100 anziché 0.01 produce un termine lineare completamente errato e un termine quadratico ancora più estremo.

“Convessità negativa significa che l’obbligazione deve perdere denaro.” Descrive una forma locale sfavorevole della risposta del prezzo, spesso legata a call o rimborso anticipato; il rendimento realizzato dipende anche da reddito, carry, spread, insolvenza, prezzo di negoziazione e percorso effettivo dei tassi.

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