Zum Inhalt springen
Financial Context Wiki

Anleihenkonvexität: Warum die Duration nicht ausreicht

Nutzen Sie Anleihenkonvexität und Duration zur Schätzung der Preissensitivität, unterscheiden Sie renditebasierte und effektive Maße und vermeiden Sie Fehler bei Einheiten, Skalierung und Kurvenschocks.

Aktualisiert

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Die Anleihenkonvexität misst die Krümmung einer festgelegten Beziehung zwischen Anleihepreis und Rendite oder Referenzkurve. Die Duration beschreibt die Steigung erster Ordnung, die Konvexität ergänzt eine Anpassung zweiter Ordnung. Zusammen liefern sie eine lokale Sensitivitätsschätzung, keine Prognose und kein vollständiges Renditemaß.

Bei einer üblichen festverzinslichen Anleihe ohne Option und mit positiven versprochenen Cashflows ist die renditebasierte Konvexität positiv: Ein gleich großer Renditerückgang erhöht den Preis tendenziell stärker und ein Renditeanstieg senkt ihn weniger, als die Duration allein nahelegt. Kündbare Anleihen, hypothekenbesicherte Wertpapiere und andere Instrumente, deren erwartete Cashflows sich mit den Zinsen ändern, können in bestimmten Zinsumgebungen eine negative effektive Konvexität aufweisen.

7 Jahre, 5 % Jahreskupon, 5 % Basisrendite

Exakte PreisänderungDuration-SchätzungDuration + Konvexität
12110181
Interaktiver Vergleich von Duration und Konvexität
-300 bp0 bp+300 bp
Genauer Preis
USD 94,42
Modifizierte Duration
5,79
Konvexität
41,9
Angepasster Fehler
USD 0,01

So funktioniert die Anpassung

Für eine kleine Änderung einer konsistent definierten Rendite gilt häufig folgende Näherung:

ΔP / P ≈ -D × Δy + 0.5 × C × (Δy)^2

D ist die modifizierte Duration, C die jährliche Konvexität gemäß der gezeigten Konvention und Δy die als Dezimalzahl ausgedrückte Renditeänderung. Eine Bewegung um 100 Basispunkte entspricht 0.01, nicht 100. Manche Anbieter melden Geldkonvexität, skalierte Konvexität oder eine bereits um einen Faktor angepasste Größe; prüfen Sie die Definition, bevor Sie den Wert einsetzen.

Der Durationsterm ist linear: Bei steigenden Renditen ist er negativ, bei fallenden positiv. Der Konvexitätsterm verwendet (Δy)^2; positive Konvexität erhöht daher die Schätzung in beiden Richtungen. Sie mildert den geschätzten Verlust bei steigenden und erhöht den geschätzten Gewinn bei fallenden Renditen.

Ändern sich die erwarteten Cashflows mit den Zinsen, verwenden Sie eine modellbasierte effektive Konvexität statt einer Fest-Cashflow-Berechnung:

effective convexity ≈ (P- + P+ - 2P0) / (P0 × (Δy)^2)

Dabei ist P- der modellierte Vollpreis nach einer Abwärtsverschiebung der Referenzkurve um den gewählten Schock, P+ der Vollpreis nach einer gleich großen Aufwärtsverschiebung und P0 der aktuelle modellierte Vollpreis. Sofern der Test die Annahmen nicht bewusst verändert, sollten alle drei Bewertungen denselben optionsbereinigten Spread und dieselbe Volatilität verwenden. Die effektive Konvexität kann je nach Schockgröße und Zinsumfeld erheblich schwanken.

Halten Sie den Risikofaktor konsistent. Renditebasierte Duration und Konvexität beschreiben meist eine parallele Änderung einer einzigen Endfälligkeitsrendite bei festen Cashflows. Effektive Maße verschieben üblicherweise eine Referenzkurve und bewerten die Cashflows neu. Änderungen von Credit Spreads, Kurvensteigung oder -krümmung, Liquidität, Ausfallerwartungen oder Optionsvolatilität erfassen sie nicht automatisch.

Ausgearbeitetes Beispiel

Angenommen, eine Anleihe hat einen Vollpreis von 100, eine modifizierte Duration von 6 und gemäß obiger Formel eine jährliche Konvexität von 50.

Wenn die Renditen um 100 Basispunkte steigen:

ΔP / P ≈ -6 × 0.01 + 0.5 × 50 × 0.01^2 = -5.75%

Die geschätzte prozentuale Änderung beträgt -5.75%; der Vollpreis sinkt damit auf etwa 94.25. Die Duration allein hätte -6.00% beziehungsweise 94.00 ergeben.

Wenn die Renditen um 100 Basispunkte sinken:

ΔP / P ≈ +6 × 0.01 + 0.5 × 50 × 0.01^2 = +6.25%

Die geschätzte prozentuale Änderung beträgt +6.25%; der Vollpreis steigt damit auf etwa 106.25.

Bei 25 Basispunkten gilt 0.5 × 50 × 0.0025^2 = 0.015625%; die Anpassung beträgt also etwa 0.0156%. Bei 200 Basispunkten gilt 0.5 × 50 × 0.02^2 = 1.00%. Der quadratische Term wächst schnell, doch bei großen Schocks kann auch die Näherung zweiter Ordnung ungenauer werden; für wesentliche Entscheidungen ist das Instrument direkt neu zu bewerten.

Praktische Kontrollen

  • Rechnen Sie den Schock korrekt um: 1 bp = 0.0001, 50 bp = 0.005 und 100 bp = 0.01.
  • Prüfen Sie, ob Macaulay-, modifizierte, effektive, Spread- oder Key-Rate-Duration und ob renditebasierte, effektive, Geld- oder skalierte Konvexität gemeint ist.
  • Verwenden Sie für alle Eingaben und Schockbewertungen dieselbe Renditedefinition, Zinskonvention, Abrechnung, Stückzinsbehandlung sowie Voll- oder Clean-Price-Basis.
  • Verwenden Sie Fest-Cashflow-Konvexität nicht für kündbare Anleihen, hypothekenbesicherte Wertpapiere oder Instrumente mit wesentlicher vorzeitiger Tilgung, Laufzeitverlängerung, Put-, Wandel- oder anderer Pfadabhängigkeit.
  • Dokumentieren Sie bei effektiven Maßen Referenzkurvenschock, Schockgröße, Bewertungsmodell, optionsbereinigten Spread, Volatilität und Cashflow-Annahmen.
  • Trennen Sie Referenzzinsrisiko von Credit-Spread-, Ausfall-, Liquiditäts-, Währungs- und Inflationsrisiko; mehrere Faktoren können sich gleichzeitig ändern.
  • Testen Sie nichtparallele Kurvenbewegungen mit Key-Rate-Maßen oder direkter Szenariobewertung statt nur mit einem aggregierten Duration-Konvexitäts-Paar.
  • Prüfen Sie bei Portfolios vor der Aggregation die Vereinbarkeit von Marktwertgewichtung, Währungen, Absicherungen, Derivaten und Maßdefinitionen.
  • Vergleichen Sie die Näherung bei großen Schocks, konzentrierten oder gehebelten Positionen und Instrumenten nahe einer Optionsausübungsgrenze mit direkter Neubewertung.
  • Höhere positive Konvexität hat meist einen wirtschaftlichen Preis, etwa eine niedrigere Rendite, einen höheren Marktpreis oder andere Liquiditäts- und Optionseigenschaften.

Häufige Irrtümer

„Positive Konvexität verhindert Verluste bei steigenden Zinsen.“ Sie macht die lokale Preisreaktion nur günstiger als die Durationstangente. Negativer Durationseffekt, Spread-Ausweitung, Ausfallrisiko oder Zwangsverkauf können weiterhin Verluste verursachen.

„Konvexität ersetzt die Duration.“ Die Duration bleibt die Sensitivität erster Ordnung, die Konvexität korrigiert die Krümmung. Beide hängen vom gewählten Risikofaktor und den Annahmen ab.

„Basispunkte können direkt in die Formel eingesetzt werden.“ 100 statt 0.01 erzeugt einen völlig falschen linearen und einen noch extremeren quadratischen Term.

„Negative Konvexität bedeutet zwangsläufig einen Verlust.“ Sie beschreibt eine ungünstige lokale Form der Preisreaktion, oft infolge von Kündigung oder vorzeitiger Tilgung. Die realisierte Rendite hängt auch von Ertrag, Carry, Spread, Ausfall, Handelspreis und tatsächlichem Zinsverlauf ab.

Verwandte Themen

Maßgebliche Quellen

Navigation

Wiki durchsuchen...