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Convexidade de títulos: por que a duration não basta

Use a convexidade com a duration para estimar a sensibilidade do preço, distinguir medidas baseadas no rendimento e efetivas, tratar opções embutidas e evitar erros de unidade, escala e choque da curva.

Atualizado

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

A convexidade de um título mede a curvatura de uma relação específica entre seu preço e seu rendimento ou uma curva de referência. A duration fornece a inclinação de primeira ordem, e a convexidade acrescenta um ajuste de segunda ordem. Juntas, elas oferecem uma estimativa local de sensibilidade, não uma previsão nem uma medida completa de retorno.

Para um título prefixado padrão, sem opções e com fluxos prometidos positivos, a convexidade baseada no rendimento é positiva: quedas e altas iguais do rendimento tendem, respectivamente, a elevar o preço mais e reduzi-lo menos do que indica apenas a duration. Títulos resgatáveis antecipadamente, títulos lastreados em hipotecas e outros instrumentos cujos fluxos esperados mudam com os juros podem apresentar convexidade efetiva negativa em certos ambientes.

7 anos, cupom anual de 5% e rendimento-base de 5%

Reprecificação exataEstimativa de duraçãoDuração + convexidade
12110181
Duração interativa e comparação de convexidade
-300 bp0 bp+300 bp
Preço exato
US$ 94,42
Duração modificada
5,79
Convexidade
41,9
Erro ajustado
US$ 0,01

Como funciona o ajuste

Para uma pequena variação em um rendimento definido de forma consistente, uma aproximação comum é:

ΔP / P ≈ -D × Δy + 0.5 × C × (Δy)^2

D é a duration modificada, C é a convexidade anual conforme a convenção exibida e Δy é a variação do rendimento em formato decimal. Um movimento de 100 pontos-base é 0.01, não 100. Alguns provedores publicam convexidade monetária, convexidade escalonada ou um ajuste que já incorpora determinado fator; confirme a definição antes de inserir o valor nesta fórmula.

O termo de duration é linear: fica negativo quando o rendimento sobe e positivo quando cai. O termo de convexidade usa (Δy)^2; por isso, a convexidade positiva aumenta a estimativa nas duas direções, atenuando a perda estimada na alta e ampliando o ganho estimado na queda do rendimento.

Para títulos cujos fluxos esperados mudam com os juros, use convexidade efetiva baseada em modelo, não um cálculo de fluxos fixos:

effective convexity ≈ (P- + P+ - 2P0) / (P0 × (Δy)^2)

Aqui P- é o preço cheio modelado após reduzir a curva de referência pelo choque escolhido, P+ é o preço cheio após elevá-la na mesma magnitude e P0 é o preço cheio modelado atual. As três avaliações devem manter hipóteses consistentes de spread ajustado por opções e volatilidade, salvo se o teste as alterar deliberadamente. A convexidade efetiva pode mudar bastante conforme o tamanho do choque e o ambiente de juros.

Mantenha o fator de risco consistente. Duration e convexidade baseadas no rendimento normalmente descrevem uma mudança paralela em um único rendimento até o vencimento com fluxos fixos. Medidas efetivas geralmente aplicam um choque à curva de referência e reestimam os fluxos. Nenhuma delas captura automaticamente mudanças no spread de crédito, na inclinação ou curvatura da curva, na liquidez, nas expectativas de inadimplência ou na volatilidade das opções.

Exemplo resolvido

Suponha que um título tenha preço cheio de 100, duration modificada de 6 e convexidade anual de 50 conforme a fórmula acima.

Se os rendimentos subirem 100 pontos base:

ΔP / P ≈ -6 × 0.01 + 0.5 × 50 × 0.01^2 = -5.75%

A variação percentual estimada é -5.75%, portanto o preço cheio passa para cerca de 94.25. Somente a duration estimaria -6.00%, ou 94.00.

Se os rendimentos caírem 100 pontos base:

ΔP / P ≈ +6 × 0.01 + 0.5 × 50 × 0.01^2 = +6.25%

A variação percentual estimada é +6.25%, portanto o preço cheio passa para cerca de 106.25.

Para um movimento de 25 pontos-base, 0.5 × 50 × 0.0025^2 = 0.015625%, de modo que o ajuste é cerca de 0.0156%. Para 200 pontos-base, 0.5 × 50 × 0.02^2 = 1.00%. O termo quadrático cresce rapidamente, embora a própria aproximação de segunda ordem possa perder precisão com choques grandes; reprecifique diretamente o instrumento quando a decisão for relevante.

Verificações práticas

  • Converta corretamente o choque: 1 bp = 0.0001, 50 bp = 0.005 e 100 bp = 0.01.
  • Confirme se a duration é de Macaulay, modificada, efetiva, de spread ou de taxa-chave, e se a convexidade é baseada no rendimento, efetiva, monetária ou escalonada.
  • Use a mesma definição de rendimento, frequência de capitalização, data de liquidação, tratamento dos juros acumulados e convenção de preço cheio ou limpo em todos os dados e cenários.
  • Não use convexidade de fluxos fixos para títulos resgatáveis, títulos lastreados em hipotecas ou instrumentos com pré-pagamento, extensão, put, conversão ou outra dependência relevante da trajetória.
  • Para medidas efetivas, documente o choque da curva de referência, seu tamanho, o modelo de precificação, o spread ajustado por opções, a volatilidade e as hipóteses de fluxo.
  • Separe o risco da taxa de referência dos riscos de spread de crédito, inadimplência, liquidez, moeda e inflação; vários podem mudar simultaneamente.
  • Teste movimentos não paralelos com medidas de taxa-chave ou reprecificação direta por cenário, em vez de depender apenas de uma dupla agregada de duration e convexidade.
  • Em uma carteira, confira a compatibilidade de ponderações por valor de mercado, moedas, hedges, derivativos e definições antes de agregar os valores de cada título.
  • Compare a aproximação com a reprecificação direta para choques grandes, posições concentradas, carteiras alavancadas ou instrumentos próximos de uma fronteira de exercício.
  • Lembre-se de que maior convexidade positiva costuma ter um preço econômico: rendimento menor, preço de mercado maior ou liquidez e opcionalidade diferentes.

Erros comuns

“A convexidade positiva impede perdas quando os juros sobem.” Ela apenas torna a resposta local mais favorável do que a tangente da duration. O efeito negativo da duration, a abertura de spreads, a inadimplência ou uma venda forçada ainda podem causar perdas.

“A convexidade substitui a duration.” A duration continua sendo a sensibilidade de primeira ordem, e a convexidade corrige a curvatura. Ambas dependem do fator de risco e das hipóteses escolhidas.

“Os pontos-base podem ser inseridos diretamente na fórmula.” Usar 100 em vez de 0.01 produz um termo linear totalmente errado e um termo quadrático ainda mais extremo.

“Convexidade negativa significa que o título necessariamente perderá dinheiro.” Ela descreve uma forma local desfavorável da resposta do preço, muitas vezes ligada a resgate ou pré-pagamento; o retorno realizado também depende da renda, do carry, do spread, da inadimplência, do preço de negociação e da trajetória efetiva dos juros.

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