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Delta e Gamma: direção local, curvatura e unidades da posição

Meça a direção e a curvatura locais da opção com coordenadas explícitas do modelo, quantidades com sinal, multiplicadores compatíveis, estimativas de segunda ordem, unidades de hedge, diferenças finitas e reprecificação completa.

Atualizado

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Para um valor de modelo V(S, t, σ, ...), Delta é a primeira derivada local Delta = ∂V / ∂S, e Gamma é a curvatura local Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S. Delta estima a mudança de valor para um pequeno movimento de uma unidade na coordenada escolhida do subjacente; Gamma estima como Delta muda quando essa coordenada se move.

Ambos são resultados de modelo com marca temporal, não previsões, probabilidades, cotações executáveis ou razões de hedge permanentes. Seu significado depende do direito exato, sinal da posição, coordenada de preço, superfície de volatilidade, tempo, taxas, distribuições, custo de empréstimo, modelo de exercício, liquidação, unidade de cotação, multiplicador e escala do fornecedor.

Curva do valor de uma opção com uma tangente para Delta e inclinações variáveis para Gamma Curva do valor de uma opção com uma tangente para Delta e inclinações variáveis para Gamma
Delta é a tangente local; Gamma é a taxa local de variação dessa tangente.

Registro de gregas com sinal e unidades consistentes

Seja q a quantidade de contratos de opções com sinal, positiva para posições compradas e negativa para vendidas; M o multiplicador de prêmio compatível; h as unidades do subjacente com sinal; Delta_i a Delta do modelo por unidade de opção; e Gamma_i a Gamma do modelo por unidade de opção e por movimento de uma unidade de preço. A Delta da posição em unidades equivalentes do subjacente é Δ_pos = q × M × Delta_i + h, e a Gamma da posição é Γ_pos = q × M × Gamma_i. Uma ação tem Delta +1 por unidade comprada e Gamma 0.

  1. Fixe a série exata, marca temporal, sinal comprado ou vendido, quantidade, multiplicador, entregável, moeda de cotação, coordenada do subjacente, estilo de exercício, liquidação e versão do modelo. Não compense gregas de direitos economicamente diferentes apenas porque os símbolos parecem semelhantes.
  2. Declare a coordenada e a escala da derivada. Diferencie Delta spot de Delta forward, de futuros, ajustada pelo prêmio ou em dinheiro; diferencie Gamma por $1, ponto de índice, ponto de futuro ou 1% spot move; e registre se o fornecedor já multiplicou por contratos ou multiplicador.
  3. Congele o estado do modelo: spot ou forward, taxas, dividendos, custo de empréstimo, tempo até o vencimento exato, superfície de volatilidade, regra de choque sticky-strike ou sticky-delta, tratamento de eventos discretos e método numérico. Uma grega exibida sem esse estado não é reproduzível de forma independente.
  4. Para um pequeno movimento ΔS, calcule a mudança de Taylor por unidade ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² e a Delta local atualizada Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS. Multiplique a estimativa de preço por q × M com sinal; não multiplique novamente um valor que o fornecedor já tenha agregado.
  5. Valide as gregas analíticas ou do fornecedor com perturbações centradas quando a função de apreçamento for suave: Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) e Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S². Reduza e amplie h_S para revelar efeitos de truncamento, cancelamento, grade ou recalibração da superfície.
  6. Agregue somente depois de normalizar cada perna à mesma equivalência do subjacente, unidade de preço, moeda, marca temporal e convenção de sinal. Em seguida, adicione unidades de hedge em ações ou futuros e submeta a estresse spot, tempo, volatilidade, skew, taxas, dividendos, empréstimo, saltos e limites de exercício.
  7. Use a reprecificação completa como controle para cenários finitos e preços bid-ask executáveis para negociar. Concilie execuções, quantidade do hedge, tarifas, empréstimo, atribuição, liquidação, versão do modelo e gregas após o choque, em vez de tratar uma estimativa local de Taylor como P&L realizado.

Para calls e puts vanilla ordinárias compradas em um modelo europeu suave, Gamma é positiva; a venda inverte a Gamma da posição. Isso não é uma afirmação universal sobre payoffs digitais, barreiras, limites de exercício americano, direitos ajustados, carteiras ou convenções de fornecedores. Perto do vencimento, Gamma pode se concentrar ao redor de um strike e permanecer pequena muito dentro ou fora do dinheiro; saltos tornam incompleta a descrição local contínua.

Exemplos resolvidos

  • Estimativa local de preço e hedge de uma call comprada. Uma call comprada tem valor V_0 = $3.10, Delta_i = 0.42, Gamma_i = 0.06, q = +1 e M = 100. Para ΔS = +$1.50, o termo Delta é 0.42 × $1.50 = $0.6300 por ação e o termo de curvatura é ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675; portanto, ΔV_Taylor = $0.6975 por ação ou +$69.75 por contrato. O valor estimado é $3.7975, e Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51. A Delta da posição passa de +42 shares para cerca de +51 shares; um hedge estático com 42 ações vendidas deixa de ser neutro.
  • Gamma curta inverte os sinais da posição. Seis calls vendidas têm q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 e Gamma_i = 0.04. A Delta inicial da posição é −330 shares e a Gamma da posição é −24 shares per $1. Para ΔS = +$2, a Delta estimada da posição muda em −48 shares para −378 shares; o P&L da opção é aproximadamente −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708. Para ΔS = −$2, a mesma fórmula local resulta em +$612. Um operador Delta-neutro compraria cerca de 48 ações adicionais na alta ou venderia cerca de 48 na queda, antes de custos e mudanças do modelo.
  • A agregação da carteira inclui ações e pernas de opções com sinal. Mantenha quatro calls com Delta_i = 0.35, Gamma_i = 0.025, três puts vendidas com Delta_i = −0.40, Gamma_i = 0.030, use M = 100 e venda 200 shares. A Delta das opções é +140 + 120 = +260 shares; depois das ações, a Delta líquida é +60 shares. A Gamma das opções é +10 − 9 = +1 share per $1. Para ΔS = +$5, a Delta líquida local passa a cerca de +65 shares. As duas pernas de opções contribuem +$825.00 e +$487.50, enquanto as ações contribuem −$1,000, gerando uma estimativa de segunda ordem da carteira de +$312.50 antes de tarifas, empréstimo, volatilidade implícita e passagem do tempo.
  • Atribuição local de Taylor versus reprecificação completa. Para uma call europeia com S = 100, K = 100, r = 4%, rendimento contínuo y = 1%, σ = 25% e τ = 0.5, uma referência de Black-Scholes fornece V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 e Gamma_i = 0.0221205770. Para ΔS = +5, a estimativa de segunda ordem é 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 por ação. A reprecificação completa com a mesma volatilidade implícita fornece V_1 = 10.8172471731, uma mudança de 3.0956949428; portanto, a estimativa local difere em 0.0104738552 ou cerca de $1.047386 por multiplicador 100. Se a volatilidade implícita também subir para 30%, o valor completo será 12.1628459929; a mudança total 4.4412937626 não pode ser atribuída apenas à Delta e Gamma originais.

Riscos e controles

  • Série, símbolo-raiz, vencimento, strike, tipo de opção ou entregável incorretos invalidam o mapa de gregas.
  • Omitir o sinal comprado ou vendido inverte Delta e Gamma da posição, direção do hedge e atribuição de P&L.
  • Quantidade de contratos e multiplicador de prêmio podem ser contados duas vezes ou omitidos.
  • Contratos ajustados e opções sobre futuros podem usar unidades diferentes de ações ordinárias.
  • Delta spot, forward, de futuros, ajustada pelo prêmio e em dinheiro não são intercambiáveis.
  • Gamma por unidade de preço difere de Gamma dimensionada para um 1% spot move ou Gamma em dinheiro.
  • Moeda e conversão cambial podem tornar inconsistentes gregas aparentemente comparáveis.
  • Marcas temporais diferentes ou cotações defasadas do subjacente e da opção criam compensação falsa.
  • Gregas de midpoint ou modelo não garantem preços executáveis da opção ou do hedge.
  • Superfície de volatilidade, regra sticky, skew e estrutura a termo alteram ambas as gregas.
  • Premissas de taxas, dividendos, empréstimo e financiamento afetam valores e hedges do modelo.
  • Exercício americano e dividendos discretos criam limites ausentes de uma fórmula europeia suave.
  • Liquidação em dinheiro, entrega física e estoque após exercício criam riscos operacionais distintos.
  • A falta de suavidade perto do vencimento pode tornar Gamma grande, instável ou dependente da grade em torno de um strike.
  • Grandes movimentos invalidam uma extrapolação com Delta e Gamma fixas.
  • Saltos, interrupções e gaps contornam as premissas de rebalanceamento contínuo.
  • Perturbações de diferenças finitas muito grandes acrescentam erro de truncamento; perturbações minúsculas acrescentam ruído de cancelamento.
  • Compensar vencimentos, superfícies, modelos, moedas ou tipos de liquidação diferentes pode esconder risco de base.
  • Tamanho discreto do hedge, spread bid-ask, tarifas, impacto de mercado, empréstimo de ações e liquidez alteram resultados realizados.
  • Diferenças de modelo, fornecedor, arredondamento, atribuição, liquidação e registros da corretora exigem conciliação final.

Erros comuns

  • “Delta é uma probabilidade universal.” É uma derivada local; interpretações de probabilidade exigem modelos, numerários e convenções específicos.
  • “Delta permanece fixa.” Gamma e cada entrada variável do modelo a alteram.
  • “Uma carteira Delta-neutra não tem risco.” Permanecem Gamma, Vega, Theta, saltos, base, liquidez, execução e risco de modelo.
  • “Gamma prevê diretamente a mudança de preço.” Ela entra na expansão local do preço por meio de ½ × Gamma_i × (ΔS)² e muda durante o movimento.
  • “Gregas precisas eliminam a necessidade de reprecificação completa.” Derivadas locais ajudam na atribuição; cenários finitos, execução e eventos do ciclo de vida ainda exigem avaliação e conciliação completas.

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