有限差分期權定價：網格、穩定性與提前行權

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

有限差分期權定價把連續定價方程替換成標的價格與時間節點組成的網格，用相鄰節點差值近似導數，並從到期支付向今天逐步倒推理論價值。沒有方便閉式解時尤其有用，例如美式行權、障礙、時變輸入和依賴邊界的合約。

此方法不會讓價格變得客觀或可成交。輸出取決於隨機模型、合約支付、股息、波動率、利率、網格範圍、邊界條件、數值格式和收斂容差。未收斂網格給出的漂亮小數仍是錯誤答案。

在帶連續股息率 q 的常參數 Black–Scholes 假設下，價值 V(S,t) 滿足：

∂V/∂t + 0.5σ²S² ∂²V/∂S² + (r−q)S ∂V/∂S − rV = 0。

選擇價格節點 S_i=iΔS 至 Smax，時間節點間隔為 Δt。到期時寫入支付，例如 Put 的 max(K−S,0)。用相鄰值近似 Delta，用中心二階差分近似 Gamma，再在低價與高價邊界條件下向前一時刻倒推。

**顯式格式：**直接由已知層計算前一層，簡單但有條件穩定；Δt 相對 ΔS 過大會產生震盪甚至不可能價格。
**隱式格式：**每步求解三對角線性系統，通常較穩定，但時間離散誤差與計算工作較顯式法高。
**Crank–Nicolson：**在兩個時間層平均空間算子；平滑解通常有二階時間精度，但到期支付折點或不連續特徵會引發震盪，常用初始隱式步或 Rannacher 平滑。

美式期權每個節點必須滿足：

V(S,t) ≥ 立即行權支付。

估算繼續持有價值後，取其與內在價值較大者，或求解等價線性互補問題。選擇發生切換的邊界就是自由行權邊界。

考慮美式 Put：S=$95、K=$100、T=0.5 年、σ=25%、r=4%、q=0。取 Smax=$200、ΔS=$1、Δt=0.0005 年。到期時 $95 節點從內在價值 $5 開始。

向前倒推時，假設某個臨近到期的 $95 節點得到繼續持有價值 $6.18，求解器保留 $6.18，而非立即行權價值 $5。在 $70 節點，若繼續持有為 $29.72、立即行權為 $30，美式約束保留 $30。重複此過程即可建立價值曲面和近似提前行權邊界。

這些數字展示收斂紀錄，不是通用公平價值。最終實作應把歐式版本與 Black–Scholes 比較，把美式結果與足夠深的二項樹或獨立求解器比較，並細化網格直到價格與希臘值達到聲明容差。

市場核驗仍需同一時間的 Bid/Ask。模型中點可能因偏斜、供需、避險成本、費用、流動性、離散交易、跳空和模型風險偏離可成交價格。