蝶式套利：履約價凸性、加權價差與成交

用等距和不等距蝶式檢驗歐式買權價格凸性，並在考慮深度、費用、交割和帳戶約束後，區分擬合或中間價異常與可執行靜態套利。

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

直接回答

對於同一標的、同一到期日且其他條款匹配的歐式買權，無套利價格必須隨履約價非遞增且具有凸性。當履約價等距，即 K_1 = K − h、K_2 = K、K_3 = K + h 時，買入 +1:−2:+1 買權蝶式的成本為 B = C(K_1) − 2C(K_2) + C(K_3)，終值非負，因此無摩擦模型要求 B ≥ 0。

負的擬合值或中間價只是一項診斷。可執行靜態套利要求同步取得兩隻買入翼的賣價、兩隻賣出主體買權的買價、足夠數量和匹配的合約規格，並且扣除佣金、交易所費用、融資、保證金、稅和結算成本後，初始淨收入仍為正。即使組合到期損益非負，美式履約、實物交割、部分指派、拆腿和券商強平仍會產生期間義務。

七步凸性與成交檢驗

鎖定一組匹配權利。 記錄標的、選擇權代碼、買權方向、K_1 < K_2 < K_3、到期日、履約方式、結算、乘數、交割物、調整狀態、幣種、場所、報價時間和正式終值定義。規格不同的買權不能構成同一個靜態凸性檢驗。
統一履約價幾何結構。 等距時要求 K_2 − K_1 = K_3 − K_2 並採用 +1:−2:+1。不等距時定義 w = (K_3 − K_2) ÷ (K_3 − K_1)，檢驗 C(K_2) ≤ wC(K_1) + (1 − w)C(K_3)。等價整數數量與 (K_3 − K_2):−(K_3 − K_1):(K_2 − K_1) 成比例，可能時再除以公因數。
區分研究估值和可執行方向。 使用同步報價和條件。買入蝶式按兩隻正翼的賣價買入，並按負主體買權的買價賣出。最後成交、不同時間的報價、理論價值和中間價可以診斷曲面，卻不能證明可得款項。
分區證明終值。 分別計算 S_T ≤ K_1、K_1 < S_T ≤ K_2、K_2 < S_T < K_3、S_T ≥ K_3，並使用準確比例和正式 S_T。等距蝶式兩端為零，峰值為 h，在 K_2 達到；不等距加權結構的兩端也為零，內部損益非負。
把優勢換算為可執行帳戶現金。 將有符號淨貸記乘以實際乘數和完整組合數量，再扣除全部開倉及預計生命週期成本。數量受每條腿同步深度限制，並須符合比例、持倉限額、保證金、資本、借券和帳戶許可權。
壓力測試生命週期斷裂。 測試複雜委託拒絕、部分成交、拆腿、撤單、停牌、美式提前或部分指派、履約例外處理、相反指令、實物股票及履約現金、正式現金結算、合約調整和券商強平。非負到期恆等式不會在操作上自動協調各腿。
核對並儲存證據。 儲存原始報價、資料來源或場所、時間、數量、訂單比例、限價、成交、費用、指派和結算檔案、稅務批次及剩餘部位。分別標記擬合形狀異常、可執行報價機會、已接受訂單和最終結算後的已實現結果。

示例

中間價異常與可執行組合。 等距履約價為 K_1 = $90、K_2 = $100、K_3 = $110。買權中間價 $15.00、$10.00、$4.00 給出 B_mid = $15.00 − 2 × $10.00 + $4.00 = −$1.00，即理論貸記 $100，乘數為 100；到期損益峰值為 $10 × 100 = $1,000，在 S_T = $100 時達到。但兩翼賣價 $15.30 和 $4.25 加上主體買價 $9.75 得到 B_exec = $15.30 − 2 × $9.75 + $4.25 = $0.05，即借記 $5。中間價曲線違反凸性，但這些可執行方向不存在套利。
不等距履約價與整數比例。 令 K_1 = $90、K_2 = $100、K_3 = $115。則 w = ($115 − $100) ÷ ($115 − $90) = 0.60，凸曲線要求 C($100) ≤ 0.60C($90) + 0.40C($115)。同步可執行價格 C($90) = $16.00、C($100) = $11.20、C($115) = $3.00 時，右側為 $10.80，標準化異常為 $0.40。可交易比例由 +15:−25:+10 約為 +3:−5:+2；成本為 3 × $16.00 − 5 × $11.20 + 2 × $3.00 = −$2.00，即貸記 $200，乘數為 100；非負損益峰值為 $30 × 100 = $3,000，在 S_T = $100 時達到。
完全可執行的歐式現金結算例。 假設一組匹配歐式現金結算買權的同步 +1:−2:+1 複雜委託以 $0.12 貸記成交，乘數為 100。總收入 $0.12 × 100 = $12。若四份合約各收 $1 per contract，初始淨收入為 $12 − $4 = $8。當 S_T = $103，對 100/105/110 履約價，到期選擇權損益為 ($103 − $100) × 100 = $300，稅前合計 $8 + $300 = $308；在任一尾部，損益為零，保留 $8。只有在所述匹配、可執行、資金到位且可收回假設下，這才是套利。
深度限制可實現規模。 複雜委託顯示 $0.15 貸記，但同步顯示數量只支持 4 只低翼、12 只主體買權和 10 只高翼。因此 +1:−2:+1 只支持 min(4, 12 ÷ 2, 10) = 4 組完整蝶式，而非 10 組。總貸記為 4 × $0.15 × 100 = $60。若每份合約收 $0.65 per contract，而合約總數為 4 × 4 = 16，費用為 $10.40，剩餘 $60 − $10.40 = $49.60。其餘六組未證明可執行；先賣主體買權會形成未匹配的賣出風險。

風險與驗證控制

匹配標的、代碼、買權方向、到期日、履約方式、結算、乘數、交割物、幣種和調整狀態。
在選擇等權或加權比例前，核實履約價順序和準確間距。
將不等距比例約為有效整數合約，且不得改變損益權重。
買入腿用同步可執行賣價、賣出腿用買價，不用中間價或最後成交。
記錄報價來源、場所、時間、交易時段、條件、顯示數量和延遲。
檢查完整組合深度；等距蝶式的每組主體需要兩份合約。
可行時提交比例正確的複雜委託；拆腿會產生 Delta、Gamma、Vega 和跳空風險。
區分訂單接受和完全成交；部分成交可能留下裸賣買權。
納入佣金、交易所、清算、路由、融資、結算和稅務成本。
獲取策略、投資組合及券商內部保證金規則；資本佔用可能超過初始優勢。
核實持倉和行許可權額、帳戶許可權、集中度及券商強平政策。
區分美式或歐式履約與實物、現金或期貨結算。
模擬賣出主體買權的提前和部分指派；買入翼不會自動處理。
核實履約例外處理、相反指令、券商截止時間、釘住風險和盤後變動。
按合約定義 S_T；收盤、即時指數、ETF 和期貨價格可能不等於正式交割值。
拆股、併購、分配或其他交割物調整後重新計算。
在可執行報價確認前，將負擬合密度視為模型或資料診斷。
強制曲面遞減、凸性和日曆一致時，仍保留原始資料和不確定性。
壓測陳舊報價、交叉市場、停牌、延遲開盤、更正和無法退出。
最終檔案到達後核對權利金、股票、履約現金、結算、保證金、抵押品、費用和稅務批次。

常見誤區

“負中間價蝶式就是免費資金。” 中間價不可執行，同步自然方向可能把表面貸記變成借記。
“+1:−2:+1 適用於任意三個履約價。” 它要求等距；不等距需要加權比例，可能需要許多合約。
“非負終值消除了所有風險。” 部分成交、指派、資金、保證金、結算、券商和稅務風險仍存在。
“負擬合密度證明存在交易。” 平滑、插值、陳舊或交叉報價可產生診斷異常，卻沒有可執行組合。
“小優勢可按顯示價格無限放大。” 最稀缺的腿和準確比例限制同步數量，費用和衝擊可能耗盡優勢。

權威來源

Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices - 在模型假設下連線履約價導數、狀態價格與非負密度的基礎研究。
Nonparametric Option Pricing under Shape Restrictions - 形狀約束的選擇權價格曲線估計，不是可執行交易證據。
Long Call Butterfly - Options Industry Council 對匹配等翼策略及生命週期風險的說明。
Characteristics and Risks of Standardized Options - OCC 對標準化選擇權權利、義務和風險的披露。
OCC By-Laws & Rules - OCC 關於履約、指派、清算和結算的規則。
Cboe Titanium U.S. Options Complex Book Process - Cboe 特定的複雜比例、競價、組合處理和部分成交。
4210. Margin Requirements - FINRA 監管保證金要求與選擇權價差條款。
S&P 500 Index Options Product Specifications - SPX 特定的履約、結算、乘數和交易慣例。