Black-Scholes 模型：公式、假設與隱含波動率

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

Black-Scholes-Merton 模型在特定假設下，為歐式期權提供無套利價值基準。輸入包括目前標的價格 S、履約價 K、剩餘期限 T、連續複利無風險利率 r、連續股息率 q 及波動率 σ。

C = Se^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)

P = Ke^(−rT)N(−d₂) − Se^(−qT)N(−d₁)

其中 d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)，d₂ = d₁ − σ√T，N(x) 是標準常態累積分布函數。

模型結合動態複製與無套利推理。理想化連續交易下，可用標的與無風險借貸局部避險，從定價方程消去標的預期報酬率，得到風險中性給付的折現期望。

標準假設包括價格為對數常態、波動率及利率固定、連續交易、沒有跳躍與交易成本，並可按需交易及借貸。公式採連續股息率與歐式履約；離散股息及美式履約需要調整或數值方法。

實務常從市場價格反解 σ。此隱含波動率是在所選模型下與價格一致的輸入。不同履約價及到期日通常得出不同 IV，形成曲面而不是一個常數。

設 S = $100、K = $100、T = 1、r = 5%、q = 0%、σ = 20%：

d₁ = [0 + (0.05 + 0.20²/2)] / 0.20 = 0.35

d₂ = 0.35 − 0.20 = 0.15

使用 N(0.35) ≈ 0.6368 及 N(0.15) ≈ 0.5596，Call 約值 $10.45，Put 約值 $5.57。

Put-Call 平價核驗為：

C − P = S − Ke^(−rT) ≈ $100 − $95.12 = $4.88

$10.45 − $5.57 = $4.88。四捨五入可能造成微小差異。這是模型輸出，不是可成交報價。