การกำหนดราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัด: เครื่องหมาย เสถียรภาพ เงื่อนไขกีดขวาง และการลู่เข้า

สร้างตัวแก้ราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัดที่ตรวจสอบได้ โดยใช้เครื่องหมายเวลา ตัวดำเนินการไม่ต่อเนื่อง เงื่อนไขขอบเขตและเหตุการณ์ เงื่อนไขประกอบแบบอเมริกัน การลดการสั่น และการลู่เข้าของราคาและ Greeks อย่างถูกต้อง

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

การกำหนดราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัด แทนสมการประเมินมูลค่าแบบต่อเนื่องด้วยจุดบนกริดราคาและเวลา การใช้งานที่ถูกต้องต้องมีมากกว่ากริดละเอียด เครื่องหมายของเวลาปฏิทินและเวลาที่เหลือถึงครบกำหนด ตัวดำเนินการเชิงพื้นที่ เงื่อนไขปลายงวดและขอบเขต การกระโดดจากเหตุการณ์ แบบแผนเวลา ตัวแก้เงื่อนไขกีดขวางของออปชันอเมริกัน ค่าคงเหลือ และการควบคุมการลู่เข้าต้องสอดคล้องกันทั้งหมด

การปรับกริดให้ละเอียดแก้ได้เฉพาะความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลข ไม่สามารถแก้ payoff แบบจำลองสุ่ม การจัดการเงินปันผล สิทธิเรียกร้องจากการชำระราคา ข้อมูลตลาด หรือสมมติฐานการซื้อขายที่ผิด ตัวแก้อาจลู่เข้าอย่างแม่นยำไปยังคำตอบที่ผิดได้

หาอนุพันธ์ของกริดก่อนเขียนโปรแกรม

กำหนดสิทธิเรียกร้อง payoff Phi(S) รูปแบบการใช้สิทธิ การชำระราคา อัตราดอกเบี้ย ต้นทุนยืม เงินปันผล แบบจำลองความผันผวน และพิกัดให้แน่นอน เมื่อใช้เวลาปฏิทิน t สมการ PDE ของ Black-Scholes คือ V_t + L V = 0 เมื่อใช้เวลาที่เหลือถึงครบกำหนด tau = T - t สมการเป็น V_tau = L V โดยเริ่มจาก V(S, 0) = Phi(S)
เลือกกริดราคาหรือ log-price โดเมนที่ตัดทอน กริดเวลา และการจัดตำแหน่ง spot ราคาใช้สิทธิ barrier เงินปันผล และจุดสังเกต ระบุว่า N นับช่วงหรือจุดบนกริด และทดสอบ S_max แยกจาก Delta S
บนกริดสม่ำเสมอ S_i = i Delta S ให้หา a_i = 0.5[sigma^2 i^2 - (r - q)i], b_i = -(sigma^2 i^2 + r) และ c_i = 0.5[sigma^2 i^2 + (r - q)i] เพื่อให้ (L_h V)_i = a_i V_(i-1) + b_i V_i + c_i V_(i+1)
กำหนดขั้นเวลาให้ชัดเจน แบบ explicit คือ V^(n+1) = (I + Delta tau L_h)V^n แบบ implicit คือ (I - Delta tau L_h)V^(n+1) = V^n และ Crank-Nicolson คือ (I - 0.5 Delta tau L_h)V^(n+1) = (I + 0.5 Delta tau L_h)V^n ใส่พจน์ขอบเขตในข้างขวาและชั้นเวลาที่ถูกต้อง
ตรวจเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ทั่วทั้งกริด ข้อจำกัดคล้าย CFL ค่าบวก ความเป็นโมโนโทนิก คุณสมบัติของเมทริกซ์ และการสั่น แบบ explicit และ backward Euler โดยปกติมีอันดับหนึ่งในเวลา แบบ implicit กระจายความผันผวนมากกว่าแต่ไม่ได้แม่นยำน้อยกว่าเสมอ เสถียรภาพเชิงเส้นของ Crank-Nicolson ไม่ได้รับประกันความเป็นโมโนโทนิกหรือผลลัพธ์ที่ไม่สั่นบริเวณจุดหักของ payoff ต้องบันทึกการลดการสั่นแบบ Rannacher รอบทุกจุดไม่ต่อเนื่องที่นำมาใช้
สำหรับการใช้สิทธิแบบอเมริกัน ให้แก้ปัญหาส่วนเติมเต็มเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องด้วยวิธีที่ระบุชื่อ เช่น PSOR วิธี penalty หรือ operator splitting ที่มีเอกสารกำกับ บังคับให้ V - Phi >= 0, A V - b >= 0 และ (V - Phi) elementwise_times (A V - b) = 0 พร้อมรายงานค่าผ่อนคลาย จำนวนรอบสูงสุด และค่าคงเหลือของเงื่อนไขส่วนเติมเต็ม
อินเตอร์โพเลตราคาและ Greeks ณ spot แล้วปรับโดเมน พื้นที่ เวลา การจัดตำแหน่งเหตุการณ์ และค่าคลาดเคลื่อนของตัวแก้ให้ละเอียดขึ้น เปรียบเทียบกรณียุโรปกับสูตร กรณีอเมริกันกับต้นไม้ที่ละเอียดหรือตัวแก้อิสระ และบันทึกราคา Delta, Gamma, ขอบเขตการใช้สิทธิอิสระ การตรวจสอบไม่ให้เกิดอาร์บิทราจ และค่าคงเหลือ

เงื่อนไขขอบเขตต้องเป็นของสัญญานั้น ภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน Put ยุโรปอาจใช้ V(0, tau) = K exp(-r tau) และมีค่าเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ S เพิ่มขึ้น ส่วน Put อเมริกันมักใช้ V(0, tau) = K Call ยุโรปที่สินทรัพย์จ่ายเงินปันผลมีพฤติกรรมลิมิตด้านราคาสูงต่างออกไป เงินปันผลเงินสดแบบไม่ต่อเนื่องต้องใช้การกระโดดและอินเตอร์โพเลต เช่น V(S, t-) = V(max(S - D, 0), t+) แล้วจึงตัดสินใจใช้สิทธิตามลำดับที่ถูกต้อง

ผลต่างแบบกึ่งกลางอาจสร้างสัมประสิทธิ์การพาเป็นลบแม้ขั้นเวลาจะเล็ก จึงอาจต้องใช้การประมาณแบบ upwind แบบ fitted หรือกริด log-price สมการ PDE แบบ diffusion ก็ไม่ได้รวมการกระโดดของราคาโดยอัตโนมัติ ต้องแยกความคลาดเคลื่อนจากแบบจำลอง พารามิเตอร์ การปรับเทียบ วิธีเชิงตัวเลข และราคาที่ซื้อขายได้จริงออกจากกัน

ตัวอย่างคำนวณ 4 กรณี

เครื่องหมายเวลาเปลี่ยนตามนาฬิกาที่เลือก จาก V_t + L V = 0 และ tau = T - t กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบให้ V_tau = L V ดังนั้นการเดินจาก payoff ที่ tau = 0 ไปยัง tau ที่มากขึ้นจะใช้ตัวดำเนินการ L เครื่องหมายบวก การคัดลอกเครื่องหมายของการเดินถอยหลังในเวลาปฏิทินจะเป็นการแก้อีกปัญหาหนึ่ง
จุดหนึ่งอาจดูปลอดภัยเฉพาะบริเวณ กำหนด sigma = 25%, r = 4%, q = 0, i = 95 และ Delta tau = 0.0005 จะได้ a_i = 280.13125, b_i = -564.1025 และ c_i = 283.93125 น้ำหนักแบบ explicit คือ 0.140065625, 0.71794875 และ 0.141965625 รวมเป็น 0.99998 ค่าจุดข้างเคียง 6, 5, 4 อัปเดตเป็น 4.998 สำหรับ Put อเมริกันที่มีเงื่อนไขกีดขวาง 5 การฉายค่าแบบ explicit จะคง 5 ไว้ แต่ระบบ implicit หรือ Crank-Nicolson ยังต้องตรวจค่าคงเหลือของ LCP ที่เชื่อมโยงกัน
ข้อจำกัดมีผลทั่วทั้งกริด เมื่อใช้อินพุตเดิมที่ i = 200 น้ำหนักแบบ explicit คือ 0.623, -0.25002 และ 0.627 น้ำหนักตรงกลางที่ติดลบทำลายความเป็นโมโนโทนิกแม้จุดใกล้ spot จะดูใช้ได้ เมื่อลดขั้นเป็น Delta tau = 0.0002 จะได้ 0.2492, 0.499992 และ 0.2508 ซึ่งไม่ติดลบและรวมเป็น 0.999992
ราคาและ Greeks ต้องมีการควบคุมแยกจากกัน สำหรับ Put ยุโรปที่มี S = $95, K = $100, T = 0.5, sigma = 25%, r = 4% และ q = 0 สูตร Black-Scholes ให้ d_1 = -0.088633257689, d_2 = -0.265409952985, ราคา $8.413258404601, Delta -0.535313311861 และ Gamma 0.023662224614 กริดต้องลู่เข้าแยกกันครบทั้งสามผลลัพธ์ก่อนเชื่อถือส่วนเพิ่มมูลค่าแบบอเมริกันหรือขอบเขตการใช้สิทธิอิสระ

การควบคุม 7 ขั้นตอนและจุดที่อาจล้มเหลว

เวลาปฏิทิน t และเวลาที่เหลือถึงครบกำหนด tau อาจเดินด้วยเครื่องหมายที่ไม่สอดคล้องกัน
หน่วยวัน ปี อัตราดอกเบี้ย ความผันผวน และเงินปันผลอาจปะปนกัน
อาจเขียน payoff รูปแบบการใช้สิทธิ สิทธิเรียกร้องจากการชำระราคา หรือชั้นปลายงวดผิด
อาจนับอัตราเงินปันผลต่อเนื่องและเงินปันผลเงินสดแบบไม่ต่อเนื่องซ้ำหรือเรียงลำดับผิด
S_max อาจอยู่ใกล้เกินไปแม้ Delta S จะดูเล็ก
สูตรขอบเขตราคาต่ำและสูงอาจเป็นของสิทธิเรียกร้องหรือสมมติฐานต้นทุนถือครองที่ผิด
เงินปันผล barrier จุด fixing หรือจุดสังเกตอาจอยู่ระหว่างจุดเวลาและถูกอินเตอร์โพเลตอย่างไม่เหมาะสม
จำนวนจุดกับจำนวนช่วงหรือสูตรอนุพันธ์บนกริดไม่สม่ำเสมออาจคลาดไปหนึ่งตำแหน่ง
drift อาจทำให้สัมประสิทธิ์เชิงพื้นที่แบบกึ่งกลางติดลบและทำลายความเป็นโมโนโทนิก
น้ำหนักแบบ explicit อาจละเมิดเสถียรภาพหรือค่าบวกทั่วกริดในบริเวณที่ห่างจาก spot
Crank-Nicolson อาจสั่นบริเวณจุดหักของ payoff, barrier หรือการกระโดดจากเหตุการณ์
อาจไม่ใช้การลดการสั่นแบบ Rannacher หรือวิธีอื่น ใช้กับเหตุการณ์ผิด หรือไม่จัดทำเอกสาร
ค่าคงเหลือของระบบเชิงเส้นอาจสูงแม้พื้นผิวดูเรียบ
ค่าผ่อนคลาย PSOR เกณฑ์หยุด ค่าเริ่มต้น หรือขีดจำกัดรอบอาจไม่เสถียร
อาจเข้าใจผิดว่าการเลือกค่าสูงสุดรายจุดเพียงครั้งเดียวเป็นการแก้ LCP แบบ implicit หรือ Crank-Nicolson ที่ถูกต้อง
การอินเตอร์โพเลต ณ spot อาจทำให้มูลค่า Delta, Gamma หรือขอบเขตอิสระมีอคติ
Gamma และขอบเขตการใช้สิทธิอาจยังมีสัญญาณรบกวนหลังราคาดูเหมือนลู่เข้าแล้ว
อาจใช้อันดับการลู่เข้าที่สังเกตได้หรือการประมาณนอกช่วงแบบ Richardson นอกขอบเขตเชิงเส้นกำกับที่เรียบ
diffusion การอินเตอร์โพเลตความผันผวนเฉพาะที่ การกระโดด พารามิเตอร์ หรือการปรับเทียบอาจผิดเชิงโครงสร้าง
อาจนำเสนอมูลค่าทฤษฎีเป็น bid, ask, การป้องกันความเสี่ยง หรืออาร์บิทราจที่ซื้อขายได้จริง

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“กริดที่ละเอียดขึ้นพิสูจน์ว่าราคาถูกต้อง” ไม่ได้พิสูจน์ว่าสัญญาหรือแบบจำลองถูกต้อง
“แบบ implicit มีความแม่นยำน้อยกว่า explicit โดยธรรมชาติ” แบบ Euler ทั้งสองมักมีอันดับหนึ่งในเวลา แต่มีพฤติกรรมด้านเสถียรภาพและความคลาดเคลื่อนต่างกัน
“Crank-Nicolson เสถียรโดยไม่มีเงื่อนไข จึงเป็นโมโนโทนิกและไม่สั่น” คุณสมบัติเหล่านี้แยกจากกัน
“มูลค่าแบบอเมริกันได้จากการแก้แบบไม่มีข้อจำกัดหนึ่งครั้งแล้วเลือกค่าสูงสุดรายจุด” ระบบ implicit ที่เชื่อมโยงกันต้องใช้วิธี LCP หรือการประมาณที่วัดความคลาดเคลื่อนได้
“การตรงกับราคาเสนอหนึ่งค่าตรวจสอบตัวแก้และ Greeks แล้ว” การปรับเทียบและสัญญาณรบกวนของตลาดอาจซ่อนความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขหรือโครงสร้าง