Оценка опционов методом конечных разностей: знаки, устойчивость, препятствия и сходимость

Создайте проверяемый конечно-разностный решатель с правильными знаками времени, дискретными операторами, граничными условиями и событиями, американской комплементарностью, сглаживанием и сходимостью цены и греков.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Оценка опционов методом конечных разностей заменяет непрерывное уравнение оценки узлами цены и времени. Для корректной реализации мало мелкой сетки: знаки календарного времени и времени до погашения, пространственный оператор, конечные и граничные условия, скачки при событиях, временная схема, решатель препятствия американского опциона, невязки и контроль сходимости должны быть согласованы.

Уточнение сетки устраняет только численную погрешность. Оно не исправит неверную выплату, стохастическую модель, учет дивидендов, расчетное требование, рыночные данные или предположение об исполнении сделки. Решатель способен точно сойтись к неверному ответу.

Выведите сетку до написания кода

Зафиксируйте требование, выплату Phi(S), стиль исполнения, расчет, ставки, стоимость займа, дивиденды, модель волатильности и координаты. В календарном времени t уравнение Black-Scholes имеет вид V_t + L V = 0; во времени до погашения tau = T - t оно принимает вид V_tau = L V с начальным условием V(S, 0) = Phi(S).
Выберите сетку по цене или логарифму цены, усеченную область, временную сетку и размещение спота, страйка, барьеров, дивидендов и наблюдений. Укажите, считает ли N интервалы или узлы, и тестируйте S_max отдельно от Delta S.
На равномерной сетке S_i = i Delta S выведите a_i = 0.5[sigma^2 i^2 - (r - q)i], b_i = -(sigma^2 i^2 + r) и c_i = 0.5[sigma^2 i^2 + (r - q)i], чтобы (L_h V)_i = a_i V_(i-1) + b_i V_i + c_i V_(i+1).
Точно задайте временной шаг: явная схема V^(n+1) = (I + Delta tau L_h)V^n; неявная (I - Delta tau L_h)V^(n+1) = V^n; Crank-Nicolson (I - 0.5 Delta tau L_h)V^(n+1) = (I + 0.5 Delta tau L_h)V^n. Включайте граничные слагаемые в правильную правую часть и на правильном временном слое.
Проверяйте знаки коэффициентов по всей сетке, ограничения типа CFL, положительность, монотонность, свойства матрицы и осцилляции. Явная и обратно-эйлерова схемы обычно имеют первый порядок по времени; неявная схема сильнее подавляет колебания, но не всегда менее точна. Линейная устойчивость Crank-Nicolson не гарантирует монотонность или отсутствие колебаний около излома выплаты. Документируйте сглаживание Rannacher около каждого разрыва, где оно применяется.
Для американского исполнения решайте дискретную задачу линейной комплементарности указанным методом, например PSOR, штрафным методом или документированным расщеплением оператора. Требуйте V - Phi >= 0, A V - b >= 0 и (V - Phi) elementwise_times (A V - b) = 0; сообщайте параметр релаксации, предел итераций и невязку комплементарности.
Интерполируйте цену и греки в точке спота, затем уточняйте область, пространство, время, размещение событий и допуск решателя. Сверяйте европейские случаи с формулой, американские - с глубоким деревом или независимым решателем, и фиксируйте цену, Delta, Gamma, свободную границу, проверки отсутствия арбитража и невязки.

Границы определяются контрактом. При стандартных предположениях для европейского Put можно использовать V(0, tau) = K exp(-r tau), а с ростом S его стоимость стремится к нулю; для американского Put обычно используют V(0, tau) = K. У европейского Call на актив с дивидендной доходностью другая асимптотика при высокой цене. Дискретные денежные дивиденды требуют скачка и интерполяции, например V(S, t-) = V(max(S - D, 0), t+), после чего в правильной последовательности принимается решение об исполнении.

Центральные разности могут дать отрицательный коэффициент конвекции даже при малом временном шаге; может потребоваться противопоточная, согласованная или логарифмическая дискретизация. Диффузионное уравнение также не включает скачки цены автоматически. Ошибки модели, параметров, калибровки, численного решения и исполнимой цены следует разделять.

Четыре расчетных примера

Знак времени меняется вместе с часами. Из V_t + L V = 0 и tau = T - t по правилу цепочки следует V_tau = L V. Поэтому движение от выплаты при tau = 0 к большему tau использует положительный оператор L; копирование знака обратного движения в календарном времени решало бы другую задачу.
Отдельный узел может выглядеть локально безопасным. Пусть sigma = 25%, r = 4%, q = 0, i = 95 и Delta tau = 0.0005. Тогда a_i = 280.13125, b_i = -564.1025 и c_i = 283.93125; веса явной схемы равны 0.140065625, 0.71794875 и 0.141965625, а их сумма - 0.99998. Соседние значения 6, 5, 4 обновляются до 4.998. Для американского Put с препятствием 5 явная проекция сохраняет 5; неявная система или Crank-Nicolson все равно требует невязку связанной LCP.
Ограничение является глобальным. С теми же данными при i = 200 явные веса равны 0.623, -0.25002 и 0.627; отрицательный центральный вес нарушает монотонность, хотя узел около спота выглядел приемлемым. Уменьшение шага до Delta tau = 0.0002 дает 0.2492, 0.499992 и 0.2508: все веса неотрицательны, а их сумма равна 0.999992.
Для цены и греков нужны независимые проверки. Для европейского Put с S = $95, K = $100, T = 0.5, sigma = 25%, r = 4% и q = 0 формула Black-Scholes дает d_1 = -0.088633257689, d_2 = -0.265409952985, цену $8.413258404601, Delta -0.535313311861 и Gamma 0.023662224614. Прежде чем доверять американской премии или свободной границе, сетка должна отдельно сойтись ко всем трем результатам.

Контроль из семи шагов и сценарии отказа

Календарное время t и время до погашения tau могут перемещаться с несовместимыми знаками.
Можно смешать единицы дней, лет, ставок, волатильности и дивидендов.
Выплата, стиль исполнения, расчетное требование или конечный слой могут быть закодированы неверно.
Непрерывная доходность и дискретные денежные дивиденды могут учитываться дважды или применяться в неверном порядке.
S_max может быть слишком близок, даже если Delta S кажется малым.
Формулы нижней и верхней границ могут относиться к другому требованию или иным предположениям о стоимости переноса.
Дивиденды, барьеры, фиксации или наблюдения могут попасть между временными узлами и быть плохо интерполированы.
Число узлов и интервалов или формулы производных на неравномерной сетке могут отличаться на единицу.
Дрейф может сделать центральный пространственный коэффициент отрицательным и нарушить монотонность.
Явные веса могут нарушать глобальную устойчивость или положительность вдали от спота.
Crank-Nicolson может колебаться около изломов выплаты, барьеров или скачков событий.
Сглаживание Rannacher или иное подавление может отсутствовать, применяться к неверным событиям или не документироваться.
Невязки линейной системы могут быть велики, несмотря на визуально гладкую поверхность.
Параметр релаксации PSOR, критерий остановки, начальное приближение или лимит итераций могут быть неустойчивыми.
Однократный поузловой максимум можно ошибочно принять за точное решение неявной или Crank-Nicolson LCP.
Интерполяция в точке спота может исказить стоимость, Delta, Gamma или свободную границу.
Gamma и границы исполнения могут оставаться шумными после видимой сходимости цены.
Наблюдаемый порядок сходимости или экстраполяция Richardson могут применяться вне гладкого асимптотического режима.
Диффузия, интерполяция локальной волатильности, скачки, параметры или калибровка могут быть структурно неверны.
Теоретическую стоимость могут представить как исполнимую цену покупки, продажи, хедж или арбитраж.

Распространенные заблуждения

“Более мелкая сетка доказывает правильность цены.” Она не доказывает правильность ни контракта, ни модели.
“Неявная схема по своей природе менее точна, чем явная.” Обе схемы Эйлера обычно имеют первый порядок по времени, но разные свойства устойчивости и погрешности.
“Crank-Nicolson безусловно устойчив, значит, монотонен и не осциллирует.” Это разные свойства.
“Американская стоимость получается одним решением без ограничений и последующим поэлементным максимумом.” Связанные неявные системы требуют метода LCP или количественно оцененного приближения.
“Совпадение с одной котировкой подтверждает решатель и греки.” Калибровка и рыночный шум могут скрыть численные или структурные ошибки.